Wykonajmy rysunek pomocniczy:

$\left|OS\right|=\left|SW\right|$   (ponieważ opisana płaszczyzna przecina wysokość ostrosłupa w połowie)

 

Obliczmy wysokość podstawy:

$\left|MC\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

 

Spodek wysokości dzieli podstawę w stosunku 2:1 - a więc odcinek MO ma długość:

$\left|MO\right|=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

 

Znamy kąt  $\alpha$   - możemy więc zapisać:

$\tan \alpha =\frac{\left|SO\right|}{\left|MO\right|}$  

 

$\tan \alpha \cdot \left|MO\right|=\left|SO\right|$  

 

$\left|SO\right|=\tan \alpha \cdot a\frac{\sqrt{3}}{6}$  

 

A więc wysokość ostrosłupa jest równa:

$H=2\cdot \left|SO\right|=2\cdot \tan \alpha \cdot a\frac{\sqrt{3}}{6}=\tan \alpha \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}$            

 

Obliczmy pole podstawy:

$P_P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  

 

Objętość:

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \tan \alpha =\frac{a^3\cdot 3}{36}\cdot \tan \alpha =\underline{\frac{a^3}{12}\cdot \tan \alpha }$  

 

 

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczmy wysokość ściany bocznej.

${\left|MW\right|}^2={\left|MO\right|}^2+{\left|OW\right|}^2$  

 

${\left|MW\right|}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2+{\left(\tan \alpha \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2$  

 

${\left|MW\right|}^2=\frac{3a^2}{36}+{\tan }^2\alpha \cdot \frac{3a^2}{9}$  

 

${\left|MW\right|}^2=\frac{3a^2}{36}+{\tan }^2\alpha \cdot \frac{12a^2}{36}$

 

${\left|MW\right|}^2=\frac{3a^2}{36}\left(1+4{\tan }^2\alpha \right)$  

 

$\left|MW\right|=\frac{a\sqrt{3}}{6}\sqrt{\left(1+4{\tan }^2\alpha \right)}$  

 

 

Pole powierzchni bocznej:

$P_b=3\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}\sqrt{\left(1+4{\tan }^2\alpha \right)}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{12}\cdot \sqrt{\left(1+4{\tan }^2\alpha \right)}=\underline{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\left(1+4{\tan }^2\alpha \right)}}$