Skoro ciąg geometryczny jest malejący, to:

$q\in \left(0,1\right)$  

 

$a+b+c=19$  

$b=a\cdot q$  

$c=a\cdot q^2$  

$a+a\cdot q+a\cdot q^2=19$   

$a\left(1+q+q^2\right)=19$       

 

 

$\left(a+3,b+2,c\right)$   - ciąg arytmetyczny   

Skorzystajmy z własności ciągu arytmetycznego - środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych wyrazów:

$\frac{\left(a+3\right)+c}{2}=b+2\mid \cdot 2$     

 

$a+3+c=2b+4$   

  

$a+c=2b+1$  

 

$a+a{q}^2=2aq+1$   

 

$a{q}^2-2aq+a-1=0$  

 

Chcemy powiązać w jakiś sposób powyższe równanie z równaniem  $a+a\cdot q+a\cdot q^2=19$    - przekształćmy więc je jak poniżej:

$\underset{=19}{\underbrace{a+aq+a\cdot q^2}}-3aq-1=0$  

 

$19-3aq-1=0$  

 

$18-3aq=0$  

 

$18=3aq$  

 

$6=aq$  

 

$\underline{\frac{6}{q}=a}$          

 

 

Podstawmy obliczoną wartość a do równania:

$a\left(1+q+q^2\right)=19$  

$\frac{6}{q}\left(1+q+q^2\right)=19$  

$\frac{6}{q}+6+6q=19$  

$\frac{6}{q}+6q=13\mid \cdot q$  

$6+6q^2=13q$  

 

$6q^2-13q+6=0$  

 

$\Delta ={\left(-13\right)}^2-4\cdot 6\cdot 6=169-144=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

 

$q_1=\frac{13+5}{2\cdot 6}=\frac{18}{12}>1$    - to rozwiązanie odrzucamy, ponieważ nie spełnia założenia, że  $-1<q<1$         

 

$q_2=\frac{13-5}{2\cdot 6}=\frac{8}{12}=\underline{\frac{2}{3}}$  

 

$a=\frac{6}{q}=\frac{6}{\frac{2}{3}}=\sout{6}{}^3\cdot \frac{3}{\sout{2}{}_1}=9$  

 

$b=9\cdot \frac{2}{3}=6$  

 

$c=6\cdot \frac{2}{3}=4$