Dana jest funkcja f(x)...- Zadanie 8: Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony

Rozwiązanie

$f (x) = 2 - \frac{4}{x}$

$f (x + 1) = 2 - \frac{4}{x + 1}$

$x \neq = - 1$

$f (x - 1) = 2 - \frac{4}{x - 1}$

$x \neq = 1$

$\frac{f ( x + 1 )}{f ( x - 1 )} > 0$

$\frac{2 - \frac{4}{x + 1}}{2 - \frac{4}{x - 1}} > 0$

$\frac{\frac{2 ( x + 1 )}{x + 1} - \frac{4}{x + 1}}{\frac{2 ( x - 1 )}{x - 1} - \frac{4}{x - 1}} > 0$

$\frac{\frac{2 ( x + 1 ) - 4}{x + 1}}{\frac{2 ( x - 1 ) - 4}{x - 1}} > 0$

$\frac{\frac{2 x + 2 - 4}{x + 1}}{\frac{2 x - 2 - 4}{x - 1}} > 0$

$\frac{\frac{2 x - 2}{x + 1}}{\frac{2 x - 6}{x - 1}} > 0$

$(\frac{2 x - 2}{x + 1}) \cdot (\frac{x - 1}{2 x - 6}) > 0$

$2 x - 6 \neq = 0$

$2 x \neq = 6$

$x \neq = 3$

$\frac{2 ( x - 1 )}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{2 ( x - 3 )} > 0$

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 3} > 0$

$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{( x + 1 ) ( x - 3 )} > 0$

Założyliśmy na początku, że $x \neq = 1$ , a więc liczba $(x - 1)^{2}$ jest zawsze dodatnia - możemy więc podzielić obie strony nierówności przez $(x - 1)^{2}$

$\frac{1}{( x + 1 ) ( x - 3 )} > 0$

$(x + 1) (x - 3) > 0$

Parabola opisana równaniem $y = (x + 1) (x - 3)$ ma ramiona skierowane w górę, a jej miejscami zerowymi są $x_{1} = - 1$ oraz $x = 3$ - zatem zbiorem rozwiązań podanej nierówności jest: