a)

$p=2$  

 

$f\left(x\right)=\left|\frac{4}{x}-2\right|$  

 

Rozważmy funkcję  $g\left(x\right)=\frac{4}{x}-2$  

Jej asymptotami są proste:

$x=0$  

$y=-2$  

 

Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu funkcji g(x):

$g\left(1\right)=4-2=2$  

$g\left(-1\right)=-4-2=-6$  

 

$g\left(2\right)=2-2=0$  

$g\left(-2\right)=-2-2=-4$  

 

$g\left(4\right)=1-3=-2$  

$g\left(-4\right)=-1-2=-3$  

 

 

Wykres funkcji g(x):

            

 

 

 

Wykres funkcji f(x):

 

Odczytajmy zbiór rozwiązań równania f(x) = 2:

 

To równanie ma jedno rozwiązanie

$x=1$  

 

 

---

b)

$\left|\frac{4}{x}-p\right|=p,p>0$  

 

Aby ta równość zachodziła, liczba pod wartością bezwzględną musi być równa $-p$    lub $p$    - w pierwszym przypadku liczba  $\frac{4}{x}$   musiałaby być równa 0 - otrzymalibyśmy wtedy:

$\left|0-p\right|=p$  

$\left|-p\right|=p$   

Ta sytuacja jednak nie może zajść, gdyż liczba $\frac{4}{x}$   nie może być równa 0.

 

Pozostaje nam drugi przypadek - liczba pod wartością bezwzględną musi być równa  $p$  

$\frac{4}{x}-p=p$  

 

A więc to równanie dla  $p>0$   ma tylko jedno rozwiązanie.