$w\left(x\right)=x^3+m{x}^2+nx+4$   

 

Skoro wielomian w(x) jest podzielny przez x-1, to w(1) = 0.

Skoro resztą z dzielenia wielomianu w(x) przez x+1 jest 8, to w(-1) = 8

 

 

$w\left(1\right)=1^3+m\cdot 1^2+n\cdot 1+4=m+n+5$   

$w\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3+m\cdot {\left(-1\right)}^2+n\cdot \left(-1\right)+4=m-n+3$  

 

$\{\begin{array}{l}m+n+5=0\\ m-n+3=8\end{array}$  

Dodajmy stronami oba równania:

$m+n+5+m-n+3=0+8$  

$2m+8=8\mid -8$   

$2m=0\mid :2$  

$m=0$  

 

Podstawmy obliczoną wartość m do jednego z równań:

$m+n+5=0$  

$0+n+5=0\mid -5$   

$n=-5$              

 

$\underline{w\left(x\right)=x^3-5x+4}$  

 

$x^3-5x+4\ge x^2-x$  

$x^3-x^2-4x+4\ge 0$  

$x^2\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)\ge 0$  

$\left(x^2-4\right)\left(x-1\right)\ge 0$   

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$  

$\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)\ge 0$  

 

Wyznaczmy pierwiastki równania  $\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0$  

$x+2=0\to x=-2$  

$x-2=0\to x=2$  

$x-1=0\to x=1$  

 

Naszkicujmy przebieg wykresu tego wielomianu:

             

 

Interesują nas wartości dodatnie, a więc:

$\underline{x\in ⟨-2;1⟩\cup ⟨2;\infty )}$