a)

$x^3+p{x}^2+qx+4=0$  

 

Skoro liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem tego równania, to znaczy, że wielomian  $w\left(x\right)=x^3+p{x}^2+qx+4$    jest podzielny przez  ${\left(x-2\right)}^2$  

 

Możemy więc zapisać go jako iloczyn ${\left(x-2\right)}^2$   oraz pewnego dwumianu:

$w\left(x\right)=\left(x-a\right){\left(x-2\right)}^2=\left(x-a\right)\left(x^2-4x+4\right)=x^3-4x^2+4x-a{x}^2+4ax-4a=x^3+x^2\left(-4-a\right)+x\left(4+4a\right)-4a$  

 

$x^3+x^2\left(-4-a\right)+x\left(4+4a\right)-4a=x^3+p{x}^2+qx+4$   

 

Aby te wielomiany były równe, współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być takie same po obu stronach równania.

 

$\{\begin{array}{l}-4-a=p\\ 4+4a=q\\ -4a=4\end{array}$   

 

$\{\begin{array}{l}-4-a=p\\ 4+4a=q\\ a=-1\end{array}$   

 

$\{\begin{array}{l}-4-\left(-1\right)=p\\ 4+4\cdot \left(-1\right)=q\\ a=-1\end{array}$   

 

$\{\begin{array}{l}-4+1=p\\ 4-4=q\\ a=-1\end{array}$   

 

$\{\begin{array}{l}-3=p\\ 0=q\\ a=-1\end{array}$  

 

           

---

b)  

Skoro liczba 1 jest trzykrotnym rozwiązaniem tego równania, to możemy zapisać ten wielomian jako iloczyn ${\left(x-1\right)}^3$   oraz pewnego dwumianu  $x-a$  :

$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx-4=\left(x-a\right){\left(x-1\right)}^3$  

 

$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx-4=\left(x-a\right)\cdot \left(x-1\right)\cdot {\left(x-1\right)}^2$  

 

$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx-4=\left(x-a\right)\cdot \left(x-1\right)\cdot \left(x^2-2x+1\right)$  

 

$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx-4=\left(x-a\right)\cdot \left(x^3-2x^2+x-x^2+2x-1\right)$  

 

$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx-4=\left(x-a\right)\cdot \left(x^3-3x^2+3x-1\right)$  

 

$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx-4=x^4-3x^3+3x^2-x-a{x}^3+3a^2-3ax+a$  

 

$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx-4=x^4+x^3\left(-3-a\right)+x^2\left(3+3a\right)+x\left(-1-3a\right)+a$   

 

Możemy od razu zauważyć, że  $a=-4$    (ponieważ jest to wyraz wolny)

 

$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx-4=x^4+x^3\left(-3+4\right)+x^2\left(3-12\right)+x\left(-1+12\right)-4$  

 

$x^4+p{x}^3+q{x}^2+rx-4=x^4+x^3-9x^2+11x-4$  

 

Współczynniki przy odpowiednich potęgach muszą być takie same po obu stronach równania:

$\{\begin{array}{l}p=1\\ q=-9\\ r=11\end{array}$