Wiemy, że przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczmy długość boku rombu:

${\left|AB\right|}^2={\left(2x\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2$  

 

${\left|AB\right|}^2=4x^2+\frac{1}{4}{x}^2$  

 

${\left|AB\right|}^2=4\frac{1}{4}{x}^2$  

 

${\left|AB\right|}^2=\frac{17}{4}{x}^2$  

 

$\left|AB\right|=\frac{\sqrt{17}}{2}x$  

 

 

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów:

${\left|BD\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|AD\right|}^2-2\cdot \left|AB\right|\cdot \left|AD\right|\cdot \cos \alpha$  

 

$x^2=\frac{17}{4}{x}^2+\frac{17}{4}{x}^2-2\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}x\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}x\cdot \cos \alpha$  

 

$x^2=\frac{34}{4}{x}^2-2\cdot \frac{17}{4}{x}^2\cdot \cos \alpha$  

 

$x^2=\frac{34}{4}{x}^2-\frac{34}{4}{x}^2\cdot \cos \alpha \mid \cdot 4$  

 

$4x^2=34x^2-34x^2\cdot \cos \alpha \mid :x^2$  

 

$4=34-34\cdot \cos \alpha$  

 

$-30=-34\cdot \cos \alpha \mid :\left(-34\right)$  

 

$\cos \alpha =\frac{30}{34}=\frac{15}{17}$  

 

 

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

 

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{15}{17}\right)}^2=1$   

 

${\sin }^2\alpha +\frac{225}{289}=1$  

 

${\sin }^2\alpha =\frac{64}{289}$  

 

Wiemy, że  $\alpha$   jest kątem ostrym, a więc:

$\sin \alpha =\frac{8}{17}$  

 

 

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\underline{\frac{8}{15}}$