Losowanie ze zwracaniem.

Pierwszą cyfrę możemy wylosować na 6 sposobów; drugą cyfrę -  na 6 sposobów; trzecią cyfrę - na 6 sposobów.

Obliczmy, ile łącznie liczb możemy otrzymać:

$\left|\Omega \right|=6\cdot 6\cdot 6=6^3=216$   

 

$A_1$   - zapisana liczba jest większa niż 430

 

Aby otrzymana liczba była większa niż 430, musi zachodzić któryś z warunków:

• Pierwszą wylosowaną cyfrą jest 5 lub 6 - wtedy pozostałe cyfry możemy wybrać dowolnie. Obliczmy, ile takich liczb możemy otrzymać:

$2\cdot 6\cdot 6=72$     

• Pierwsza wylosowana cyfra jest równa 4, a druga wylosowana cyfra jest równa 4, 5 lub 6. Cyfra jedności jest bez znaczenia, więc możemy ją wybrać na 6 sposobów. Obliczmy, ile takich liczb możemy otrzymać:

$1\cdot 3\cdot 6=18$   

• Pierwsza wylosowana cyfra jest równa 4, a druga wylosowana cyfra jest równa 3. Wtedy cyfrę jedności możemy wylosować na 6 sposobów.

$1\cdot 1\cdot 6=6$   

 

Obliczmy,  ile łącznie możemy otrzymać takich liczb:

$\left|A_1\right|=72+18+6=96$  

 

$P\left(A_1\right)=\frac{96}{216}=\frac{4}{9}=\frac{40}{90}$   

 

 

Losowanie bez zwracania   

Pierwszą cyfrę możemy wylosować na 6 sposobów; drugą cyfrę -  na 5 sposobów; trzecią cyfrę - na 4 sposoby.

Obliczmy, ile łącznie liczb możemy otrzymać:

$\left|\Omega \right|=6\cdot 5\cdot 4=120$   

 

$A_2$    - zapisana liczba jest większa niż 430

 

Aby otrzymana liczba była większa niż 430, musi zachodzić któryś z warunków:

• Pierwszą wylosowaną cyfrą jest 5 lub 6 - wtedy pozostałe cyfry możemy wybrać dowolnie. Obliczmy, ile takich liczb możemy otrzymać:

$2\cdot 5\cdot 4=40$     

• Pierwsza wylosowana cyfra jest równa 4, a druga wylosowana cyfra jest równa 5 lub 6. Cyfra jedności jest bez znaczenia, więc możemy ją wybrać na 4 sposoby (ponieważ tyle cyfr pozostało nam do wyboru). Obliczmy, ile takich liczb możemy otrzymać:

$1\cdot 2\cdot 4=8$    

• Pierwsza wylosowana cyfra jest równa 4, a druga wylosowana cyfra jest równa 3. Wtedy cyfrę jedności możemy wylosować na 4 sposoby.

$1\cdot 1\cdot 4=4$   

 

Obliczmy,  ile łącznie możemy otrzymać takich liczb:

$\left|A_2\right|=40+8+4=52$    

 

$P\left(A_2\right)=\frac{52}{120}=\frac{13}{30}=\frac{39}{90}$    

 

$\frac{40}{90}>\frac{39}{90}$  

 

$P\left(A_1\right)>P\left(A_2\right)$      

 

Odp.: Większe prawdopodobieństwo jest w przypadku losowania ze zwracaniem.