a)

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-3x+1$  

 

Wyznaczmy pierwszą współrzędną środka paraboli, będącej wykresem tej funkcji:

$p=\frac{-b}{2a}$  

 

$p=\frac{3}{2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)}=3$   - wierzchołek paraboli leży poza rozpatrywanym przedziałem, a więc funkcja przyjmuje wartości największe i najmniejsze na krańcach rozpatrywanego przedziału.

 

$f\left(-5\right)=\frac{1}{2}\cdot {\left(-5\right)}^2-3\cdot \left(-5\right)+1=\frac{1}{2}\cdot 25+15+1=12,5+15+1=28,5$      

 

$f\left(1\right)=\frac{1}{2}\cdot 1^2-3\cdot 1+1=\frac{1}{2}\cdot 1-3+1=\frac{1}{2}-3+1=-\frac{3}{2}$  

 

$f_{\text{max}}=28,5$  

$f_{\text{min}}=-1,5$  

 

 

b)

Zauważmy, że wierzchołek paraboli należy do rozpatrywanego przedziału - a więc funkcja przyjmie wartość najmniejszą dla  $x=3$        

$f_{\text{min}}=f\left(3\right)=\frac{1}{2}\cdot 3^2-3\cdot 3+1=\frac{1}{2}\cdot 9-9+1=4,5-9+1=-3,5$  

 

Wartość największą funkcja przyjmie na jednym z końców przedziału.

$f\left(1\right)=-1,5$  

 

$f\left(4\right)=\frac{1}{2}\cdot 4^2-3\cdot 4+1=\frac{1}{2}\cdot 16-12+1=8-12+1=-3$  

 

A więc:

$f_{\text{max}}=-1,5$