Żeby wyznaczyć n rozpiszmy wyrażenie:

$\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)=35$

dostaniemy:

$\frac{n!}{3!\cdot \left(n-3\right)!}=35$    

$\frac{n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)\cdot {\cancel{\left(n-3\right)!}}^1}{3\cdot 2\cdot {\cancel{\left(n-3\right)!}}_1}=35$  

$\frac{n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)}{6}=35\mid \cdot 6$

$n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)=210$

 

Zauważmy, że lewej stronie otrzymaliśmy iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, żeby znaleźć n rozłóżmy jeszcze liczbę 210 na czynniki pierwsze, otrzymamy:

$210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$

Powyższy iloczyn przekształćmy w ten sposób by był to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych:

$210=5\cdot 6\cdot 7$  

 

Zatem:

$n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n-2\right)=7\cdot 6\cdot 5$

czyli   $n=7$  

 

Obliczymy teraz wartość wyrażenia z zadania:

$\frac{\left(\begin{array}{c}n\\ 4\end{array}\right)}{\left(n-3\right)!}=\frac{\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)}{\left(7-3\right)!}=\frac{\frac{7!}{4!\cdot 3!}}{4!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot {\cancel{4!}}^1}{{\cancel{4!}}_1\cdot 4!\cdot 3!}=$   

$=\frac{7\cdot {\cancel{6}}^2\cdot 5}{4\cdot {\cancel{3}}_1\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{7\cdot {\cancel{2}}^1\cdot 5}{4\cdot {\cancel{2}}_1\cdot 3\cdot 2}=\frac{35}{24}=1,458\left(3\right)$  

 

Odp. 458