Zakładamy, że  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Rozpiszmy najpierw lewą stronę podanej równości, dostaniemy:

${\left[\left(\begin{array}{c}n+2\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n+2\\ 3\end{array}\right)+1\right]}^{2019}=$  

$=\left[\frac{\left(n+2\right)!}{2!\cdot \left(n+\cancel{2}-\cancel{2}\right)!}-\frac{\left(n+2\right)!}{3!\cdot \left(n+2-3\right)!}\right)+1{]}^{2019}=$  

$={\left[\frac{\left(n+2\right)\cdot \left(n+1\right)\cdot {\cancel{n!}}^1}{2\cdot {\cancel{n!}}_1}-\frac{\left(n+2\right)\cdot \left(n+1\right)\cdot n\cdot {\cancel{\left(n-1\right)!}}^1}{2\cdot 3\cdot {\cancel{\left(n-1\right)!}}_1}+1\right]}^{2019}=$  

$={\left[\frac{3\cdot \left(n+2\right)\cdot \left(n+1\right)}{3\cdot 2}-\frac{\left(n+2\right)\cdot \left(n+1\right)\cdot n}{3\cdot 2}+1\right]}^{2019}=$  

$={\left[\frac{3\cdot \left(n+2\right)\cdot \left(n+1\right)-\left(n+2\right)\cdot \left(n+1\right)\cdot n}{6}+1\right]}^{2019}=$  

$={\left[\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(3-n\right)}{6}+1\right]}^{2019}$

 

z podanej w zadaniu równości, wiemy że:

${\left[\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(3-n\right)}{6}+1\right]}^{2019}=1$   

 

aby powyższa równość zachodziła, to:

$\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(3-n\right)}{6}=0\mid \cdot 6$   

$\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(3-n\right)=0$

 

rozwiązując powstałe równanie dostaniemy:

$n+1=0\iff n=-1\notin \mathbb{N}$  

lub

  $n+2=0\iff n=-2\notin \mathbb{N}$  

lub

$3-n=0\iff n=3\in \mathbb{N}$      

 

Odp. Jedynym naturalnym dodatnim rozwiązaniem równania jest liczba 2.