Zauważmy, że aby rozwiązaniem równania

$\left(2x-y\right)\left(3x+y\right)=21$

były liczby naturalne to musi zachodzić

1)   $2x-y=3\wedge 3x+y=7$

2)   $2x-y=7\wedge 3x+y=3$   

3)   $2x-y=21\wedge 3x+y=1$

4)   $2x-y=1\wedge 3x+y=21$

 

Ad.1)

otrzymujemy układ równań

$\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ 3x+y=7\end{array}$  

rozwiążmy go np. metodą przeciwnych współczynników, po dodaniu równań stronami, otrzymamy

$5x=10\mid :5$

$x=2$

wstawiając x = 2 np. do pierwszego równania, dostaniemy

$2\cdot 2-y=3$

$4-y=3\mid -4$

$-y=-1\mid \cdot \left(-1\right)$

$y=1$

zatem rozwiązaniem jest para liczb naturalnych

  $\{\begin{array}{l}x=2\in \mathbb{N}\\ y=1\in \mathbb{N}\end{array}$  

---

Ad. 2)

otrzymujemy układ równań

$\{\begin{array}{l}2x-y=7\\ 3x+y=3\end{array}$  

rozwiążmy go np. metodą przeciwnych współczynników, po dodaniu równań stronami, otrzymamy

$5x=10\mid :5$

$x=2$

wstawiając x = 2 np. do pierwszego równania, dostaniemy

$2\cdot 2-y=7$

$4-y=7\mid -4$

$-y=3\mid \cdot \left(-1\right)$

$y=-3$     

zatem rozwiązaniem jest para liczb

  $\{\begin{array}{l}x=2\in \mathbb{N}\\ y=-3\notin \mathbb{N}\end{array}$  

---

Ad.3)

otrzymujemy układ równań

$\{\begin{array}{l}2x-y=21\\ 3x+y=1\end{array}$  

rozwiążmy go np. metodą przeciwnych współczynników, po dodaniu równań stronami, otrzymamy

$5x=22\mid :5$

$x=\frac{22}{5}$

wstawiając wyliczony x  np. do pierwszego równania, dostaniemy

$2\cdot \frac{22}{5}-y=21$

$\frac{44}{5}-y=21$

$8\frac{4}{5}-y=21\mid -8\frac{4}{5}$

$-y=12\frac{1}{5}\mid \cdot \left(-1\right)$

$y=-12\frac{1}{5}$

zatem rozwiązaniem jest para liczb

  $\{\begin{array}{l}x=\frac{22}{5}\notin \mathbb{N}\\ y=-12\frac{1}{5}\notin \mathbb{N}\end{array}$  

---

Ad.4) 

otrzymujemy układ równań

$\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ 3x+y=21\end{array}$  

rozwiążmy go np. metodą przeciwnych współczynników, po dodaniu równań stronami, otrzymamy

$5x=22\mid :5$

$x=\frac{22}{5}$

wstawiając wyliczony x  np. do pierwszego równania, dostaniemy

$2\cdot \frac{22}{5}-y=1$

$\frac{44}{5}-y=1$

$8\frac{4}{5}-y=1\mid -8\frac{4}{5}$

$-y=-7\frac{4}{5}\cdot \left(-1\right)$

$y=7\frac{4}{5}$

zatem rozwiązaniem jest para liczb

  $\{\begin{array}{l}x=\frac{22}{5}\notin \mathbb{N}\\ y=7\frac{4}{5}\notin \mathbb{N}\end{array}$  

 

Zatem jedyna para liczb naturalnych, która spełnia podane równanie, to

$x=2,y=1$