I liceum

I technikum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Mnożąc drugie równanie przez 5 otrzymujemy: {ax+5y=154x+y=9   ∣⋅5​ &nbsp; &nbsp; &nbsp;

Punkt P jest punktem przecięcia tych prostych, zatem podstawiając x=-2, y=-14 otrzymujemy: {y=5x+m−2y=4x+3m​ &nbsp; &nbsp; {−14=5⋅(−2)+m−2−14=4⋅(−2)+3m​ &nbsp; {−14=−10+m−2−14=−8+3m​ &nbsp; {−14=−12+m−6=3m​ &nbsp; {−2=m−2=m​ &nbsp; Zatem&nbsp; m=−2 &nbsp; spełnia ten układ równań.

Podstawiając x=6, y=3 otrzymujemy: {y=−2x+3k−4y=−3x−k−2​ &nbsp; {3=−2⋅6+3k−43=−3⋅6−k−2​ &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

Rozwiązując układ równań otrzymujemy:&nbsp;

Rozwiązując układ równań otrzymujemy: {x+ay=7x−2y=−1​ &nbsp;&nbsp; {x=7−ay7−ay−2y=−1​ &nbsp; &nbsp;&nbsp;

Rozwiązując ten układ równań mamy:&nbsp;

Wyznaczmy współrzędne punktu przecięcia tych prostych. {y=−3x−5y=−32​x+2​ &nbsp; {y=−3x−5−3x−5=−32​x+2​ &nbsp; &nbsp; &nbsp;

Mnożąc drugie równanie przez 5 otrzymujemy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4108fd7cbed3e87294a194e6b640bf264ce7b4f408db6992bd451bdb8f24341a_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/4108fd7cbed3e87294a194e6b640bf264ce7b4f408db6992bd451bdb8f24341a_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; &nbsp;

Punkt P jest punktem przecięcia tych prostych, zatem podstawiając x=-2, y=-14 otrzymujemy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d22e900f90e7abc234f77af9c8b50cec4d105a0a79932f8440bc9678236d61ab_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d22e900f90e7abc234f77af9c8b50cec4d105a0a79932f8440bc9678236d61ab_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8875a3e19f053654fdd3651c5bc38e9a98594d6bca80cf7a202353377501593e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/8875a3e19f053654fdd3651c5bc38e9a98594d6bca80cf7a202353377501593e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5a17f526676c055721e8109cab4ac3580127745442a0819a266a89c54bc16ba6_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5a17f526676c055721e8109cab4ac3580127745442a0819a266a89c54bc16ba6_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/991e9cedbd65fae230ba90d123cb96d0edde666ee9ff7efab07bd7e8885bfafc_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/991e9cedbd65fae230ba90d123cb96d0edde666ee9ff7efab07bd7e8885bfafc_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eff996060c0446a964f23b0ee6d42f2f467cdbfeb5c2718f5d6a66e9e7c3463f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/eff996060c0446a964f23b0ee6d42f2f467cdbfeb5c2718f5d6a66e9e7c3463f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Zatem&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d256512bc4c2f66da536cfc4c38a937ef6be56c4d4014d71007b20522b92d678_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d256512bc4c2f66da536cfc4c38a937ef6be56c4d4014d71007b20522b92d678_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; spełnia ten układ równań.

Podstawiając x=6, y=3 otrzymujemy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0518a88afb150b8071b0c318eb54b095d463f247a584dd3854f3ae3ea6569f9d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0518a88afb150b8071b0c318eb54b095d463f247a584dd3854f3ae3ea6569f9d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7876d09165af9ee43fa3466e036b7390261cafe5b66c77ccb36ba6d091e49064_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/7876d09165af9ee43fa3466e036b7390261cafe5b66c77ccb36ba6d091e49064_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;

Rozwiązując układ równań otrzymujemy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0d9482d6a40782628cdc9f1762e7788394d5ac003caca143ad5b21427ce5a228_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/0d9482d6a40782628cdc9f1762e7788394d5ac003caca143ad5b21427ce5a228_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/984927b8d1ec5faec67f8e0795076a5c8e48b4a702e0e032f3af75ba6c91d0a2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/984927b8d1ec5faec67f8e0795076a5c8e48b4a702e0e032f3af75ba6c91d0a2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;&nbsp;

Rozwiązując układ równań mamy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b96385061bf570ceddefad0ac13dfc106867c4b0e452dbe2a0854c964853483c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b96385061bf570ceddefad0ac13dfc106867c4b0e452dbe2a0854c964853483c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/121765ed65042e2a862200fa45b87e6d8c4aecf107b46859b42a36f718744f9c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/121765ed65042e2a862200fa45b87e6d8c4aecf107b46859b42a36f718744f9c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;&nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5ce1a203663b88ba2f2b139c8bf668236f7954af00fb59fea5a03bb7e0379d15_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/5ce1a203663b88ba2f2b139c8bf668236f7954af00fb59fea5a03bb7e0379d15_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a01ed6b3d321bdea5217196c5af421579e84aa483db93d2ff1efc84048e1e9be_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/a01ed6b3d321bdea5217196c5af421579e84aa483db93d2ff1efc84048e1e9be_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/73ddcf6f2f10e9310ad25131090a49ca3b0a6ac70c8c3a845b18dd605e49c36c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/73ddcf6f2f10e9310ad25131090a49ca3b0a6ac70c8c3a845b18dd605e49c36c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f8b9436cc4cc72f11507f390ebf7492d0d17153ec936476fbf1d2c76db618eba_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f8b9436cc4cc72f11507f390ebf7492d0d17153ec936476fbf1d2c76db618eba_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f326fc6046e2ace30eebcbacef3e4656e25751de15f9a0e74d29de890619c071_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f326fc6046e2ace30eebcbacef3e4656e25751de15f9a0e74d29de890619c071_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9baf4169432bdfff95bd8f3a0f74a0430fc09b1899e7172a2f9e9be81fc88b3e_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/9baf4169432bdfff95bd8f3a0f74a0430fc09b1899e7172a2f9e9be81fc88b3e_big.svg" type="image/svg+xml"></object> para liczb spełniająca ten układ równań to (1, 3), zatem: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/05894c875d149b4ef67100ad66e4058bf04b171d72d22ed97a4a49a2851bf9d2_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/05894c875d149b4ef67100ad66e4058bf04b171d72d22ed97a4a49a2851bf9d2_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; Czyli: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe8cdfd324e5ba2ef8da6b3f426a11a16e94a91b05ec0f05f6994046d231015c_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/fe8cdfd324e5ba2ef8da6b3f426a11a16e94a91b05ec0f05f6994046d231015c_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; Odp. A

Wyznaczmy współrzędne punktu przecięcia tych prostych. <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/42b930513fd554e7767745ef2fd89b5bfbe23f11a624358930d1159b45c93f03_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/42b930513fd554e7767745ef2fd89b5bfbe23f11a624358930d1159b45c93f03_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b19c840f6af95f144b6145b13c18d18931a2479956ad50b703b966f21e596b67_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b19c840f6af95f144b6145b13c18d18931a2479956ad50b703b966f21e596b67_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp; &nbsp;

Komentarze