Oznaczmy tą liczbę naturalną jako n.

Reszta z dzielenia pewnej liczby naturalnej przez 4 jest równa 1, zatem:

$n=4a+1,a\in \mathbb{N}$  

Reszta z dzielenia pewnej liczby naturalnej przez 5 jest równa 3, zatem:

$n=5b+3,b\in \mathbb{N}$  

 

Reszta z dzielenia tej liczby przez 4 jest równa 1, zatem na pewno jest to liczba nieparzysta.

Możliwe reszty z dzielenia liczby nieparzystej przez 10 to: 1,3,5,7,9.

Rozpatrujemy zatem liczby: 10k+1, 10k+3, 10k+5, 10k+7, 10k+9 gdzie k∈C.

 

Zbadamy, jaka jest reszta z dzielenia każdej z wymieniony liczb przez 5.

$10k+1=5\cdot 2k+1$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 1 - otrzymujemy sprzeczność, bo z treści zadania ta reszta wynosi 3.

$10k+3=5\cdot 2k+3$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 3.

$10k+5=5\cdot \left(2k+1\right)$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 0 - otrzymujemy sprzeczność, bo z treści zadania ta reszta wynosi 3.

$10k+7=10k+5+2=5\cdot \left(2k+1\right)+2$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 2 - otrzymujemy sprzeczność, bo z treści zadania ta reszta wynosi 3.

$10k+9=10k+5+4=5\cdot \left(2k+1\right)+4$  

Zatem reszta z dzielenia wynosi 4 - otrzymujemy sprzeczność, bo z treści zadania ta reszta wynosi 3.

 

Pokazaliśmy, że szukana liczba jest postaci 10k+3, zatem reszta z dzielenia tej liczby przez 10 jest równa 3.

Odp. C