$n,n+1,n+2$   - trzy kolejne liczby naturalne

$n^2$   - kwadrat liczby n

${\left(n+1\right)}^2$   - kwadrat liczby n+1

${\left(n+2\right)}^2$   - kwadrat liczby n+2

 

$n^2+{\left(n+1\right)}^2+{\left(n+2\right)}^2=509$  

 

$n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=509$  

 

$3n^2+6n-504=0$  

 

$\Delta =6^2-4\cdot 3\cdot \left(-504\right)=36+6048=6084$  

$\sqrt{\Delta }=78$  

 

$n_1=\frac{-6-78}{2\cdot 3}=-\frac{84}{6}=-14$   - ten wynik odrzucamy, ponieważ szukamy liczb naturalnych

 

$n_2=\frac{-6+78}{2\cdot 3}=\frac{72}{6}=12$  

 

$n=12$  

$n+1=13$  

$n+2=14$