Proste $y=a_{1}x+b_1\left(a_1\ne 0\right)\text{i}y=a_{2}x+b_2$  są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_2=-\frac{1}{a_1}$   

 

$\text{a)}$  

Zauważmy, że prosta  $k$  jest równoległa do osi  $OX$ .

$y+\sqrt{2}=0\mid -\sqrt{2}$  

$y=-\sqrt{2}$  

Równanie prostej prostopadłej do prostej  $k$  możemy zapisać w postaci:

$x=b$  

Prosta ta przechodzi przez punkt  $A$ . Podstawiamy współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$-3=b$  

$b=-3$  

Mamy więc:

$x=-3$  

Proste  $y=-\sqrt{2}\text{i}x=-3$  przecinają się w punkcie o współrzędnych  $\left(-3,-\sqrt{2}\right)$ .

Obliczamy odległość tego punktu od punku  $A\left(-3,2\right)$  (punkty te leżą na jednej prostej).

$\left|2-\left(-\sqrt{2}\right)\right|=\left|2+\sqrt{2}\right|=2+\sqrt{2}$  

---

$\text{b)}$  

Równanie prostej  $k$  zapiszemy w postaci kierunkowej.

$-2x+y+8=0\mid +2x$  

$y+8=2x\mid -8$  

$y=2x-8$  

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej  $k$  jest równy:

$a=-\frac{1}{2}$  

Równanie prostej prostopadłej do prostej  $k$  możemy zapisać w postaci:

$y=-\frac{1}{2}x+b$  

Prosta ta przechodzi przez punkt  $A$ . Podstawiamy współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$-4=-\frac{1}{2}\cdot 2+b$  

$-4=-1+b$  

$b=-3$  

Mamy więc:

$y=-\frac{1}{2}x-3$  

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych.

$\{\begin{array}{l}y=2x-8\\ y=-\frac{1}{2}x-3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-8\\ 2x-8=-\frac{1}{2}x-3\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-8\\ 4x-16=-x-6\mid +x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-8\\ 5x-16=-6\mid +16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-8\\ 5x=10\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-8\\ x=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2\cdot 2-8\\ x=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=4-8\\ x=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-4\\ x=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}$  

Zauważmy, że punkt przecięcia prostych jest punktem $A$ . Oznacza to, że punkt  $A$  leży na prostej  $k$ . Odległość tego punktu od tej prostej jest więc równa 0.

---

$\text{c)}$  

Równanie prostej  $k$  zapiszemy w postaci kierunkowej.

$3x-4y+5=0\mid +4y$  

$3x+5=4y\mid :4$  

$\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}=y$  

$y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$  

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej  $k$  jest równy:

$a=-\frac{1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}$  

Równanie prostej prostopadłej do prostej  $k$  możemy zapisać w postaci:

$y=-\frac{4}{3}x+b$  

Prosta ta przechodzi przez punkt  $A$ . Podstawiamy współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$2=-\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)+b$  

$2=\frac{4}{3}+b$  

$b=\frac{2}{3}$  

Mamy więc:

$y=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$  

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych.

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\\ y=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\\ \frac{3}{4}x+\frac{5}{4}=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}\mid \cdot 12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\\ 9x+15=-16x+8\mid +16\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\\ 25x+15=8\mid -15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\\ 25x=-7\mid :25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\\ x=-\frac{7}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{7}{25}\right)+\frac{5}{4}\\ x=-\frac{7}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{21}{100}+\frac{5}{4}\\ x=-\frac{7}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{21}{100}+\frac{125}{100}\\ x=-\frac{7}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{104}{100}\\ x=-\frac{7}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{26}{25}\\ x=-\frac{7}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{7}{25}\\ y=\frac{26}{25}\end{array}$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wyznaczamy długość niebieskiego odcinka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$x^2={\left(2-\frac{26}{25}\right)}^2+{\left(-\frac{7}{25}-\left(-1\right)\right)}^2$  

  $x^2={\left(\frac{50}{25}-\frac{26}{25}\right)}^2+{\left(-\frac{7}{25}+1\right)}^2$  

  $x^2={\left(\frac{24}{25}\right)}^2+{\left(-\frac{7}{25}+\frac{25}{25}\right)}^2$  

  $x^2=\frac{576}{625}+{\left(\frac{18}{25}\right)}^2$  

  $x^2=\frac{576}{625}+\frac{324}{625}$  

  $x^2=\frac{900}{625}$  

  $x=\frac{30}{25}$  

$x=\frac{6}{5}$  

Odległość punktu  $A$  od prostej  $k$  jest równa  $\frac{6}{5}$ .

---

$\text{d)}$  

Równanie prostej  $k$  zapiszemy w postaci kierunkowej.

$\frac{3}{4}x-y+1=0\mid +y$  

$y=\frac{3}{4}x+1$

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej  $k$  jest równy:

$a=-\frac{1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}$  

Równanie prostej prostopadłej do prostej  $k$  możemy zapisać w postaci:

$y=-\frac{4}{3}x+b$  

Prosta ta przechodzi przez punkt  $A$ . Podstawiamy współrzędne tego punktu do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$3=-\frac{4}{3}\cdot 5+b$  

$3=-\frac{20}{3}+b$  

$3=-6\frac{2}{3}+b$  

$b=9\frac{2}{3}$  

Mamy więc:

$y=-\frac{4}{3}x+9\frac{2}{3}$  

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych.

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+1\\ y=-\frac{4}{3}x+9\frac{2}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+1\\ \frac{3}{4}x+1=-\frac{4}{3}x+9\frac{2}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+1\\ \frac{3}{4}x+1=-\frac{4}{3}x+\frac{29}{3}\mid \cdot 12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+1\\ 9x+12=-16x+116\mid +16x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+1\\ 25x+12=116\mid -12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+1\\ 25x=104\mid :25\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}x+1\\ x=\frac{104}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3}{4}\cdot \frac{104}{25}+1\\ x=\frac{104}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{78}{25}+1\\ x=\frac{104}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{103}{25}\\ x=\frac{104}{25}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{104}{25}\\ y=\frac{103}{25}\end{array}$  

Punkt przecięcia prostych ma współrzędne $\left(\frac{104}{25},\frac{103}{25}\right)$.

Wyznaczamy długość niebieskiego odcinka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

  $x^2={\left(5-\frac{104}{25}\right)}^2+{\left(\frac{103}{25}-3\right)}^2$  

  $x^2={\left(\frac{125}{25}-\frac{104}{25}\right)}^2+{\left(\frac{103}{25}-\frac{75}{25}\right)}^2$  

  $x^2={\left(\frac{21}{25}\right)}^2+{\left(\frac{28}{25}\right)}^2$  

  $x^2=\frac{441}{625}+\frac{784}{625}$  

  $x^2=\frac{1225}{625}$  

  $x^2=\frac{49}{25}$  

  $x=\frac{7}{5}$  

Odległość punktu  $A$  od prostej  $k$  jest równa  $\frac{7}{5}$ .