Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych  $2x+3y+2=0\text{i}3x-2y-6=0$ .

$\{\begin{array}{l}2x+3y+2=0\mid \cdot 2\\ 3x-2y-6=0\mid \cdot 3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}4x+6y+4=0\\ 9x-6y-18=0\end{array}$  

Dodajemy do siebie lewe i prawe strony równań.

$+\{\begin{array}{l}4x+6y+4=0\\ 9x-6y-18=0\end{array}$  
____________________________

$13x-14=0$  

$13x=14$  

$x=\frac{14}{13}$  

Wyznaczamy  $y$ , podstawiając w miejsce $x$  do równania pierwszego wyznaczoną liczbę. 

$2\cdot \frac{14}{13}+3y+2=0$  

$\frac{28}{13}+3y+2=0$  

$\frac{54}{13}+3y=0$  

$3y=-\frac{54}{13}$  

$y=-\frac{18}{13}$  

Mamy więc:

$C=\left(\frac{14}{13},-\frac{18}{13}\right)$  

Prosta zawierająca bok  $BC$  jest prostopadła do prostej zawierającej bok  $AB$ .

Proste $y=a_{1}x+b_1\left(a_1\ne 0\right)\text{i}y=a_{2}x+b_2$  są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_2=-\frac{1}{a_1}$   

Równanie prostej  $k$  zapiszemy w postaci kierunkowej.

$2x+3y+2=0\mid -2x$  

$3y+2=-2x\mid -2$  

$3y=-2x-2\mid :3$  

$k:y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$  

Współczynnik prostej  $n$ , która jest prostopadła do prostej  $k$ , jest równy:

$a_m=-\frac{1}{a_k}=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$  

Równanie prostej  $n$  możemy więc zapisać w postaci:

$y=\frac{3}{2}x+b$  

Do równania prostej  $n$  podstawiamy współrzędne punktu  $A$  i wyznaczamy wyraz wolny  $b$ .

$0=\frac{3}{2}\cdot \left(-3\right)+b$  

$0=-\frac{9}{2}+b$  

$b=\frac{9}{2}$  

Mamy więc:

$n:y=\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}$  

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych  $k\text{i}n$ .

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\\ y=\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}\mid \cdot 6\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\\ -4x-4=9x+27\mid +4x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\\ -4=13x+27\mid -27\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\\ -31=13x\mid :13\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\\ -\frac{31}{13}=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{31}{13}\right)-\frac{2}{3}\\ x=-\frac{31}{13}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{62}{39}-\frac{2}{3}\\ x=-\frac{31}{13}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{12}{13}\\ x=-\frac{31}{13}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{31}{13}\\ y=\frac{12}{13}\end{array}$  

Mamy więc:

$B=\left(-\frac{31}{13},\frac{12}{13}\right)$  

Aby obliczyć pole prostokąta  $ABCD$ , musimy wyznaczyć długości dwóch sąsiednich boków prostokąta.

Wyznaczamy długość boku  $AB$ , stosując twierdzenie Pitagorasa.

${\left|AB\right|}^2={\left(-\frac{31}{13}-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(\frac{12}{13}-0\right)}^2$  

${\left|AB\right|}^2={\left(-\frac{31}{13}+3\right)}^2+{\left(\frac{12}{13}\right)}^2$  

${\left|AB\right|}^2={\left(\frac{8}{13}\right)}^2+\frac{144}{169}$  

${\left|AB\right|}^2=\frac{64}{169}+\frac{144}{169}$  

${\left|AB\right|}^2=\frac{208}{169}$  

$\left|AB\right|=\frac{4\sqrt{13}}{13}$  

Wyznaczamy długość boku  $BC$ , stosując twierdzenie Pitagorasa.

${\left|BC\right|}^2={\left(\frac{14}{13}-\left(-\frac{31}{13}\right)\right)}^2+{\left(\frac{12}{13}-\left(-\frac{18}{13}\right)\right)}^2$  

${\left|BC\right|}^2={\left(\frac{14}{13}+\frac{31}{13}\right)}^2+{\left(\frac{12}{13}+\frac{18}{13}\right)}^2$  

${\left|BC\right|}^2={\left(\frac{45}{13}\right)}^2+{\left(\frac{30}{13}\right)}^2$  

${\left|BC\right|}^2=\frac{2025}{169}+\frac{900}{169}$  

${\left|BC\right|}^2=\frac{2925}{169}$  

${\left|BC\right|}^2=\frac{15\sqrt{13}}{13}$  

Pole prostokąta  $ABCD$  jest równe:

$P_{ABCD}=\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|=\frac{4\sqrt{13}}{13}\cdot \frac{15\sqrt{13}}{13}=\frac{60}{13}=4\frac{8}{13}$