Wysokość trapezu zawiera się w prostej, która jest prostopadła do obu podstaw trapezu.

Proste $y=a_{1}x+b_1\left(a_1\ne 0\right)\text{i}y=a_{2}x+b_2$  są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a_2=-\frac{1}{a_1}$   

Równanie prostej  $k$  zapiszemy w postaci kierunkowej.

$4x-3y+25=0\mid +3y$  

$4x+25=3y\mid :3$  

$\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}=y$  

$k:y=\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$  

Współczynnik prostej, która jest prostopadła do prostej  $k$ , jest równy:

$a=-\frac{1}{a_k}=-\frac{1}{\frac{4}{3}}=-\frac{3}{4}$  

Równanie prostej zawierającej wysokość trapezu możemy więc zapisać w postaci:

$y=-\frac{3}{4}x+b$  

Prosta ta ma punkt wspólny z prostą  $k$  (bo jest do niej prostopadła). Wyznaczymy współrzędne jednego punktu należącego do prostej  $k$ , a następnie równanie prostej prostopadłej do tej prostej, która przechodzi przez ten punkt.

Najprościej będzie wyznaczyć punkt przecięcia prostej  $k$  z osią  $OY$ .

$\left(0,\frac{25}{3}\right)$  

Do równania szukanej prostej podstawiamy współrzędne tego punktu i wyznaczmy wyraz wolny  $b$ .

$\frac{25}{3}=-\frac{3}{4}\cdot 0+b$  

$b=\frac{25}{3}$  

Mamy więc:

$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{3}$  

Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia tej prostej z prostą  $l$ .

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{3}\\ 12x-9y+45=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{3}\\ 12x-9\left(-\frac{3}{4}x+\frac{25}{3}\right)+45=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{3}\\ 12x+\frac{27}{4}x-75+45=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{3}\\ \frac{75}{4}x-30=0\mid \cdot 4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{3}\\ 75x-120=0\mid +120\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{3}\\ 75x=120\mid :75\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{3}\\ x=\frac{8}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{5}+\frac{25}{3}\\ x=\frac{8}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{6}{5}+\frac{25}{3}\\ x=\frac{8}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{6}{5}+\frac{25}{3}\\ x=\frac{8}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{107}{15}\\ x=\frac{8}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{5}\\ y=\frac{107}{15}\end{array}$  

Obliczamy odległość punktów o współrzędnych  $\left(0,\frac{25}{3}\right)\text{i}\left(\frac{8}{5},\frac{107}{15}\right)$ .

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

$h^2={\left(\frac{8}{5}-0\right)}^2+{\left(\frac{107}{15}-\frac{25}{3}\right)}^2$  

$h^2={\left(\frac{8}{5}\right)}^2+{\left(\frac{107}{15}-\frac{125}{15}\right)}^2$  

$h^2=\frac{64}{25}+{\left(-\frac{18}{15}\right)}^2$  

$h^2=\frac{64}{25}+\frac{324}{225}$  

$h^2=\frac{576}{225}+\frac{324}{225}$  

$h^2=\frac{900}{225}$  

$h^2=4$  

$h=2$