Wyznaczmy długość boku AC.

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-8-4\right)}^2+{\left(5-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-12\right)}^2+{10}^2}=\sqrt{144+100}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$  

---

Wyznaczmy długość wysokości h poprowadzonej z wierzchołka B.

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot h$  

$61=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{61}\cdot h$  

$61=\sqrt{61}\cdot h\mid :\sqrt{61}$  

$\frac{61}{\sqrt{61}}=h$  

$\frac{61\sqrt{61}}{61}=h$  

$\sqrt{61}=h$  

---

Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej, zatem wysokość jest również środkową boku AC.

---

Wyznaczamy współrzędne środka boku AC.

$S_{AC}=\left(\frac{4-8}{2},\frac{-5+5}{2}\right)=\left(-\frac{4}{2},\frac{0}{2}\right)=\left(-2,0\right)$  

---

Wyznaczmy współczynnik a prostej AC.

$a=\frac{y_c-y_a}{x_c-x_a}=\frac{5-\left(-5\right)}{-8-4}=\frac{10}{-12}=-\frac{5}{6}$  

---

Wyznaczmy prostą prostopadłą do AC przechodzącą przez środek AC.

$y=\frac{6}{5}x+b$  

$0=\frac{6}{5}\cdot \left(-2\right)+b$  

$0=-\frac{12}{5}+b$  

$\frac{12}{5}=b$  

$y=\frac{6}{5}x+\frac{12}{5}$  

---

Wierzchołek B leży na prostej y = ⁶/₅x + ¹²/₅, więc jego współrzędne możemy zapisać jako

$\left(x,\frac{6}{5}x+\frac{12}{5}\right)$  

---

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

$h^2+{\left(\frac{1}{2}\left|AC\right|\right)}^2={\left|AB\right|}^2$  

${\sqrt{61}}^2+{\sqrt{61}}^2={\left(\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+{\left(\frac{6}{5}x+\frac{12}{5}+5\right)}^2}\right)}^2$  

$122={\left(x-4\right)}^2+{\left(\frac{6}{5}x+\frac{37}{5}\right)}^2$  

$122=x^2-8x+16+\frac{36}{25}{x}^2+2\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{37}{5}x+\frac{1369}{25}\mid \cdot 25$  

$3050=25x^2-200x+400+36x^2+444x+1369\mid -3050$  

$0=61x^2+244x-1281\mid :61$  

$0=x^2+4x-21$  

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot \left(-21\right)=16+84=100$  

$x_1=\frac{-4-10}{2}=\frac{-14}{2}=-7$  

$x_2=\frac{-4+10}{2}=\frac{6}{2}=3$  

$\{\begin{array}{l}x=-7\\ y=\frac{6}{5}\cdot \left(-7\right)+\frac{12}{5}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{6}{5}\cdot 3+\frac{12}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-7\\ y=-\frac{42}{5}+\frac{12}{5}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{18}{5}+\frac{12}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-7\\ y=-6\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=6\end{array}$  

Zatem ostatecznie:

$B\left(-7,-6\right)\vee B\left(3,6\right)$