Punkt P należy do osi OX, zatem punkt P jest postaci P(x,0).

Wyznaczmy odległość punktu P od prostek k oraz od prostej m. 

$d\left(P,k\right)=\frac{\left|x\cdot 1+0\cdot \left(-1\right)+3\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|x+3\right|}{\sqrt{2}}$  

$d\left(P,m\right)=\frac{\left|x\cdot 7+0\cdot 1-1\right|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\frac{\left|7x-1\right|}{\sqrt{49+1}}=\frac{\left|7x-1\right|}{\sqrt{50}}$  

Punkt P jest równoodległy od prostych k i m, zatem otrzymujemy:

$\frac{\left|x+3\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|7x-1\right|}{\sqrt{50}}\mid \cdot \sqrt{50}$  

$\sqrt{25}\cdot \left|x+3\right|=\left|7x-1\right|$  

$5\cdot \left|x+3\right|=\left|7x-1\right|$  

 

Przypadek I.

$x\in \left(-\infty ,-3\right)$  

$5\left(-x-3\right)=-7x+1$  

$-5x-15=-7x+1\mid +7x+15$  

$2x=16\mid :2$  

$x=8\notin \left(-\infty ,-3\right)$  

 

Przypadek II.

$x\in ⟨-3,\frac{1}{7})$  

$5\left(x+3\right)=-7x+1$  

$5x+15=-7x+1\mid +7x-15$  

$12x=-14\mid :12$  

$x=-\frac{14}{12}$   

$x=-\frac{7}{6}$  

$x=-1\frac{1}{6}$  

 

Przypadek III.

$x\in ⟨\frac{1}{7},+\infty )$  

$5\left(x+3\right)=7x-1$  

$5x+15=7x-1\mid -7x-15$  

$-2x=-16\mid :\left(-2\right)$  

$x=8$  

 

Zatem ostatecznie:

$P\left(-1\frac{1}{6},0\right)\vee P\left(8,0\right)$