a) Aby wyznaczyć ekstrema lokalne najpierw wyznaczmy pochodną tej funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{4}\cdot 4x^3-\frac{1}{3}\cdot 3x^2-\frac{9}{2}\cdot 2x+9$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x^3-x^2-9x+9$  

Sprawdźmy kiedy f'(x)=0.  

$x^3-x^2-9x+9=0$  

$x^2\left(x-1\right)-9\left(x-1\right)=0$  

$\left(x^2-9\right)\left(x-1\right)=0$  

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$  

$x-3=0\vee x+3=0\vee x-1=0$  

$x=3\vee x=-3\vee x=1$  

Sprawdźmy kiedy f'(x)>0.

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)>0$  

$x\in \left(-3,1\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

Budujemy tabelkę.

$x$	$\left(-\infty ,-3\right)$	$-3$	$\left(-3,1\right)$	$1$	$\left(1,3\right)$	$3$	$\left(3,+\infty \right)$
$f\left(x\right)$	malejąca	minimum lokalne	rosnąca	maksimum lokalne	malejąca	minimum lokalne	rosnąca

$f_{\min }\left(-3\right)=\frac{1}{4}\cdot {\left(-3\right)}^4-\frac{1}{3}\cdot {\left(-3\right)}^3-\frac{9}{2}\cdot {\left(-3\right)}^2+9\cdot \left(-3\right)+1=$  

$=\frac{81}{4}+9-\frac{81}{2}-27+1=\frac{81}{4}-\frac{162}{4}-\frac{68}{4}=-\frac{149}{4}=-37\frac{1}{4}$  

$f_{\max }\left(1\right)=\frac{1}{4}\cdot 1^4-\frac{1}{3}\cdot 1^3-\frac{9}{2}\cdot 1^2+9\cdot 1+1=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{9}{2}+9+1=$  

$=\frac{3}{12}-\frac{4}{12}-\frac{54}{12}+10=-\frac{55}{12}+\frac{120}{12}=\frac{65}{12}=5\frac{5}{12}$   

$f_{\min }\left(3\right)=\frac{1}{4}\cdot 3^4-\frac{1}{3}\cdot 3^3-\frac{9}{2}\cdot 3^2+9\cdot 3+1=$  

$=\frac{81}{4}-9-\frac{81}{2}+27+1=\frac{81}{4}-\frac{162}{4}+\frac{76}{4}=-\frac{5}{4}=-1\frac{1}{4}$  

---

b) Na podstawie tabelki i obliczeń z podpunktu a) możemy narysować wykres funkcji f.

Z podpunktu a) wiemy, że:

$f\left(-3\right)=-37\frac{1}{4}$  

Zatem z wykresu możemy odczytać zbiór wartości funkcji f.

$Z{W}_f=⟨-37\frac{1}{4},+\infty )$