a) Przypomnijmy (Podręcznik str.135).

Funkcja f nie ma pochodnej w punkcie x₀, w którym jest ciągła, jeśli wykres "nie przebiega gładko", lecz "załamuje się".

Zatem funkcja jest różniczkowalna w przedziałach: (-3,-1), (-1,2), (2,5).

---

b)

Wyznaczmy wzór funkcji f(x).

Wyznaczmy prostą w której zawiera się pierwszy odcinek. Wyznaczmy prostą przechodzącą przez punkty (-3,-2), (-1,4). 

$y=ax+b$  

Podstawiając współrzędne tych dwóch punktów otrzymujemy:

$\{\begin{array}{l}-2=-3a+b\\ 4=-a+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2+3a=b\\ 4=-a-2+3a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2+3a=b\\ 6=2a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=3\\ -2+9=b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=3\\ b=7\end{array}$  

$y=3x+7$  

Zatem ten fragment funkcji f możemy zapisać jako:

$y=3x+7,x\in \left(-3,-1\right)$  

 

Do drugiego odcinka, na który składa się wykres funkcji należą punkty (-1,4), (0,4), zatem ten odcinek możemy zapisać jako:

$y=4,x\in ⟨-1,2⟩$  

 

Trzeci odcinek to fragment paraboli, której wierzchołkiem jest punkt (3,5) i do wykresu tej paraboli należy punkt (4,4), zatem otrzymujemy:

$y=a{\left(x-3\right)}^2+5$  

Podstawiając współrzędne punktu (4,4) otrzymujemy:

$4=a{\left(4-3\right)}^2+5$  

$4=a+5\mid -5$  

$-1=a$  

Zatem ten fragment paraboli możemy zapisać jako:

$y=-{\left(x-3\right)}^2+5,x\in \left(2,5\right)$  

 

Zatem otrzymujemy:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}3x+7\text{,}x\in \left(-3,-1\right)\\ 4\text{,}x\in ⟨-1,2⟩\\ -{\left(x-3\right)}^2+5\text{,}x\in \left(2,5\right)\end{array}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{l}3\text{,}x\in \left(-3,-1\right)\\ 0\text{,}x\in \left(-1,2\right)\\ -2x+6\text{,}x\in \left(2,5\right)\end{array}$  

 

$f{}^{\prime }\left(-2\right)=3$  

$f{}^{\prime }\left(1\right)=0$  

$f{}^{\prime }\left(3\right)=-2\cdot 3+6=0$  

$f{}^{\prime }\left(4\right)=-2\cdot 4+6=-2$