$s\left(t\right)=1,5+34,3t-4,9t^2$  

---

a) Dla t=0 otrzymujemy:

$s\left(0\right)=1,5+34,3\cdot 0-4,9\cdot 0^2=1,5\left[\text{m}\right]$  

Odp. Wystrzelono kamień z wysokości 1,5 m. 

---

b) Dla t=3 otrzymujemy:

$s\left(3\right)=1,5+34,3\cdot 3-4,9\cdot 3^2=1,5+102,9-4,9\cdot 9=104,4-44,1=60,3$  

Odp. Po 3 sekundach kamień był na wysokości 60,3 m.

---

c) Zauważmy, że:

$s\left(2\right)=1,5+34,3\cdot 2-4,9\cdot 2^2=1,5+68,6-4,9\cdot 4=70,1-19,6=50,5$  

$s\left(3\right)=60,3$  

Korzystamy ze wzoru:

$v=\frac{s}{t}$  

$v_{\acute{s}r}=\frac{s\left(3\right)-s\left(2\right)}{3-2}=\frac{60,3-50,5}{1}=9,8\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$  

Odp. Średnia prędkość kamienia między 2 a 3 sekundą wynosi 9,8 m/s.

---

d) Przypomnijmy:

Prędkość chwilowa to granica ilorazu przemieszczenia do czasu przy Δt dążącym do 0 sekund.

Wyznaczmy pochodną funkcji s(t).

$s{}^{\prime }\left(t\right)=34,3-4,9\cdot 2t$  

$s{}^{\prime }\left(t\right)=-9,8t+34,3$  

Dla t=3 otrzymujemy:

$s{}^{\prime }\left(3\right)=-9,8\cdot 3+34,3=-29,4+34,3=4,9$  

$s{}^{\prime }\left(4\right)=-9,8\cdot 4+34,3=-39,2+34,3=-4,9$  

---

e) Aby obliczyć na jaką maksymalną wysokość wzniósł się kamień sprawdźmy dla jakiego t spełniony jest warunek s'(t)=0.

$-9,8t+34,3=0\mid :\left(-9,8\right)$  

$t-3,5=0$  

$t=3,5$  

Obliczamy maksymalną wysokość, na jaką wzniósł się kamień.

$s\left(3,5\right)=1,5+34,3\cdot 3,5-4,9\cdot {\left(3,5\right)}^2=1,5+120,05-4,9\cdot 12,25=121,55-60,025=61,525$  

Odp. Maksymalna wysokość na jaką wzniósł się kamień to 61,525 m.

---

f) Sprawdźmy po ilu sekundach od wystrzelenia kamień spadł na ziemię, czyli dla jakiego t spełniony jest warunek s(t)=0.

$1,5+34,3t-4,9t^2=0\mid \cdot 10$  

$15+343t-49t^2=0$  

$\Delta ={343}^2-4\cdot \left(-49\right)\cdot 15=117649+2940=120589$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{120589}\approx 347,26$  

$t_1\approx \frac{-343-347,26}{2\cdot \left(-49\right)}\approx \frac{-690,26}{-98}\approx 7,04$  

$t_2\approx \frac{-343+347,26}{2\cdot \left(-49\right)}\approx \frac{4,26}{-98}<0\text{sprzecznosˊcˊ, poniewaz˙ czas jest liczbą dodatnią}$  

Odp. Kamień spadł na ziemię po ok. 7,04 s.