Twierdzenie:

Prosta o równaniu y=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną (odpowiednio lewostronną) wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją (właściwe) granice $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}\text{i}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$  oraz:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=a\text{i}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$  

Definicja:

Prosta o równaniu y=ax+b jest asymptotą ukośną prawostronną (odpowiednio lewostronną) wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$  

Każdy z podanych przykładów rozwiążemy na dwa sposoby.

---

a)

I sposób:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{x^2+5x+2}{x}}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2+5x+2}{x^2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2}=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(1+\frac{5}{x}+\frac{2}{x^2}\right)=1$  

 

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{x^2+5x+2}{x}-x\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{x^2+5x+2}{x}-\frac{x^2}{x}\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5x+2}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x\left(5+\frac{2}{x}\right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(5+\frac{2}{x}\right)=5$  

 

Łatwo zauważyć, że asymptota lewostronna jest taka sama jak asymptota prawostronna.

Wobec tego prosta ukośna jest postaci:

$y=1x+5\mid -y$  

$0=x-y+5$  

Co należało pokazać.

 

II sposób:

Równanie prostej zapisujemy w postaci kierunkowej.

$0=x-y+5$  

$y=x+5$  

Mamy więc:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{x^2+5x+2}{x}-\left(x+5\right)\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{x^2+5x+2}{x}-\frac{x\left(x+5\right)}{x}\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{x^2+5x+2}{x}-\frac{x^2+5x}{x}\right)=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2+5x+2-x^2-5x}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{x}=0$  

Wykazaliśmy, że prosta k jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f.

---

b)

I sposób:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{2x^2+6x-3}{x+1}}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2+6x-3}{x\left(x+1\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2+6x-3}{x^2+x}=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2\left(2+\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2+\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{2}{1}=2$  

 

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{2x^2+6x-3}{x+1}-2x\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{2x^2+6x-3}{x+1}-\frac{2x\left(x+1\right)}{x+1}\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{2x^2+6x-3}{x+1}-\frac{2x^2+2x}{x+1}\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2+6x-3-2x^2-2x}{x+1}=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{4x-3}{x+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x\left(4-\frac{3}{x}\right)}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{4-\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{4}{1}=4$  

 

Łatwo zauważyć, że asymptota lewostronna jest taka sama jak asymptota prawostronna.

Wobec tego prosta ukośna jest postaci:

$y=2x+4\mid -y$  

$0=2x-y+4$  

Co należało pokazać.

 

II sposób:

Równanie prostej zapisujemy w postaci kierunkowej.

$0=2x-y+4$  

$y=2x+4$  

Mamy więc:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{2x^2+6x-3}{x+1}-\left(2x+4\right)\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{2x^2+6x-3}{x+1}-\frac{\left(x+1\right)\left(2x+4\right)}{x+1}\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{2x^2+6x-3}{x+1}-\frac{2x^2+4x+2x+4}{x+1}\right)=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{2x^2+6x-3}{x+1}-\frac{2x^2+6x+4}{x+1}\right)=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2+6x-3-2x^2-6x-4}{x+1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-7}{x+1}=0$  

Wykazaliśmy, że prosta k jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f.

---

c)

I sposób:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{3x^3}{8x-x^2}}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x^3}{x\left(8x-x^2\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x^3}{-x^3+8x^2}=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x^3}{x^3\left(-1+\frac{8}{x}\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3}{-1+\frac{8}{x}}=\frac{3}{-1}=-3$  

 

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{3x^3}{8x-x^2}+3x\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{3x^3}{8x-x^2}+\frac{3x\left(8x-x^2\right)}{8x-x^2}\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{3x^3}{8x-x^2}+\frac{24x^2-3x^3}{8x-x^2}\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x^3+24x^2-3x^3}{8x-x^2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{24x^2}{8x-x^2}=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{24x^2}{x^2\left(\frac{8}{x}-1\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{24}{\frac{8}{x}-1}=\frac{24}{-1}=-24$  

 

Łatwo zauważyć, że asymptota lewostronna jest taka sama jak asymptota prawostronna.

Wobec tego prosta ukośna jest postaci:

$y=-3x-24\mid -y$  

$0=-3x-y-24\mid :\left(-1\right)$  

$0=3x+y+24$  

 

II sposób:

Równanie prostej zapisujemy w postaci kierunkowej.

$0=$ 3x+y+24 

$y=-3x-24$  

Mamy więc:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{3x^3}{8x-x^2}-\left(-3x-24\right)\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{3x^3}{8x-x^2}+3x+24\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{3x^3}{8x-x^2}+\frac{\left(8x-x^2\right)\left(3x+24\right)}{8x-x^2}\right)=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{3x^3}{8x-x^2}+\frac{24x^2+192x-3x^3-24x^2}{8x-x^2}\right)=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{3x^3}{8x-x^2}+\frac{192x-3x^3}{8x-x^2}\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{3x^3+192x-3x^3}{8x-x^2}\right)=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{192x}{x\left(8-x\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{192}{8-x}=0$  

Wykazaliśmy, że prosta k jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f.

---

d)

I sposób:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{{\left(2x-1\right)}^3}{3x^2+x}}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\left(2x-1\right)}^3}{x\left(3x^2+x\right)}=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left({\left(2x\right)}^3-3\cdot {\left(2x\right)}^2\cdot 1+3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3\right)\left(3x^3+x^2\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{8x^3-12x^2+6x-1}{3x^3+x^2}=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^3\left(8-\frac{12}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)}{x^3\left(3+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{8-\frac{12}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{3+\frac{1}{x}}=\frac{8}{3}$  

 

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{{\left(2x-1\right)}^3}{3x^2+x}-\frac{8}{3}x\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{{\left(2x-1\right)}^3}{x\left(3x+1\right)}-\frac{8}{3}x\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{3{\left(2x-1\right)}^3}{3x\left(3x+1\right)}-\frac{8x\cdot x\left(3x+1\right)}{3x\left(3x+1\right)}\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{3\left(8x^3-12x^2+6x-1\right)-\left(8x^2\left(3x+1\right)\right)}{3x\left(3x+1\right)}\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{24x^3-36x^2+18x-3-24x^3-8x^2}{9x^2+3x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-44x^2+18x-3}{9x^2+3x}=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2\left(-44+\frac{18}{x}-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(9+\frac{3}{x}\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-44+\frac{18}{x}-\frac{3}{x^2}}{9+\frac{3}{x}}=\frac{-44}{9}$  

 

Łatwo zauważyć, że asymptota lewostronna jest taka sama jak asymptota prawostronna.

Wobec tego prosta ukośna jest postaci:

$y=\frac{8}{3}x-\frac{44}{9}\mid \cdot 9$  

$9y=24x-44\mid -9y$  

$0=24x-9y-44$  

Co należało pokazać.

 

II sposób:

Równanie prostej zapisujemy w postaci kierunkowej.

$0=24x-9y-44$  

$9y=24x-44$  

$y=\frac{24}{9}x-\frac{44}{9}$  

Mamy więc:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{{\left(2x-1\right)}^3}{3x^2+x}-\left(\frac{24}{9}x-\frac{44}{9}\right)\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{{\left(2x\right)}^3-3\cdot {\left(2x\right)}^2\cdot 1+3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3}{3x^2+x}-\frac{24x-44}{9}\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{8x^3-12x^2+6x-1}{3x^2+x}-\frac{\left(3x^2+x\right)\left(24x-44\right)}{9\left(3x^2+x\right)}\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{72x^3-108x^2+54x-9}{9\left(3x^2+x\right)}-\frac{72x^3+24x^2-132x^2-44x}{9\left(3x^2+x\right)}\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{72x^3-108x^2+54x-9}{9\left(3x^2+x\right)}-\frac{72x^3-108x^2-44x}{9\left(3x^2+x\right)}\right]=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{72x^3-108x^2+54x-9-72x^3+108x^2+44x}{9\left(3x^2+x\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{98x-9}{9\left(3x^2+x\right)}=$  

$=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x\left(98-\frac{9}{x}\right)}{9x\left(3x+1\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{98-\frac{9}{x}}{9\left(3x+1\right)}=0$  

Wykazaliśmy, że prosta k jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f.

---

e)

I sposób:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2\left(1-\frac{9}{x^2}\right)}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\left|x\right|\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}}{x}=$  

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{9}{x^2}\right)=1$  

 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt{x^2-9}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{\sqrt{x^2-9}-x}{1}\cdot \frac{\sqrt{x^2-9}+x}{\sqrt{x^2-9}+x}\right)=$  

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-9-x^2}{\sqrt{x^2-9}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9}{\sqrt{x^2\left(1-\frac{9}{x^2}\right)}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9}{\left|x\right|\cdot \sqrt{\left(1-\frac{9}{x^2}\right)}+x}=$  

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9}{x\cdot \sqrt{\left(1-\frac{9}{x^2}\right)}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9}{x\left(\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}+1\right)}=0$  

 

Wobec tego prosta będąca asymptotą ukośną prawostronną jest postaci:

$y=x\mid -y$  

$0=x-y$  

Co należało pokazać.

 

II sposób:

Równanie prostej zapisujemy w postaci kierunkowej.

$0=x-y=0$  

$y=x$  

Mamy więc:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\sqrt{x^2-9}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{\sqrt{x^2-9}-x}{1}\cdot \frac{\sqrt{x^2-9}+x}{\sqrt{x^2-9}+x}\right)=$  

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-9-x^2}{\sqrt{x^2-9}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9}{\sqrt{x^2\left(1-\frac{9}{x^2}\right)}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9}{\left|x\right|\cdot \sqrt{\left(1-\frac{9}{x^2}\right)}+x}=$  

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9}{x\cdot \sqrt{\left(1-\frac{9}{x^2}\right)}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-9}{x\left(\sqrt{1-\frac{9}{x^2}}+1\right)}=0$  

Wykazaliśmy, że prosta k jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji f.

---

f)

I sposób:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+3x}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}\right)}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{3}{x}}}{x}=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{1+\frac{3}{x}}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\sqrt{1+\frac{3}{x}}\right)=-1$  

 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\sqrt{x^2+3x}-\left(-1x\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\sqrt{x^2+3x}+x\right]=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{\sqrt{x^2+3x}+x}{1}\cdot \frac{\sqrt{x^2+3x}-x}{\sqrt{x^2+3x}-x}\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{{\sqrt{x^2+3x}}^2-x^2}{\sqrt{x^2+3x}-x}\right]=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}\right)}-x}\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{3x}{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{3}{x}}-x}\right]=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{3x}{-x\sqrt{1+\frac{3}{x}}-x}\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\frac{3x}{x\left(-\sqrt{1+\frac{3}{x}}-1\right)}\right]=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{-\sqrt{1+\frac{3}{x}}-1}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$  

 

Wobec tego prosta będąca asymptotą ukośną lewostronną jest postaci:

$y=-x-\frac{3}{2}\mid \cdot 2$  

$2y=-2x-3\mid -2y$  

$0=-2x-2y-3\mid :\left(-1\right)$  

$0=2x+2y+3$  

Co należało pokazać.

 

II sposób:

Równanie prostej zapisujemy w postaci kierunkowej.

$0=2x+2y+3=0$  

$2y=-2x-3$  

$y=-x-\frac{3}{2}$  

Mamy więc:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\sqrt{x^2+3x}-\left(-x-\frac{3}{2}\right)\right]=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{\sqrt{x^2+3x}-\left(-x-\frac{3}{2}\right)}{1}\cdot \frac{\sqrt{x^2+3x}+\left(-x-\frac{3}{2}\right)}{\sqrt{x^2+3x}+\left(-x-\frac{3}{2}\right)}\right)=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+3x-{\left(-x-\frac{3}{2}\right)}^2}{\sqrt{x^2+3x}+\left(-x-\frac{3}{2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+3x-\left(x^2+3x+\frac{9}{4}\right)}{\sqrt{x^2+3x}-x-\frac{3}{2}}=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+3x-x^2-3x-\frac{9}{4}}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}\right)}-x-\frac{3}{2}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\frac{9}{4}}{\left|x\right|\cdot \sqrt{1+\frac{3}{x}}-x-\frac{3}{2}}=$  

$=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\frac{9}{4}}{-x\cdot \sqrt{1+\frac{3}{x}}-x-\frac{3}{2}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\frac{9}{4}}{-x\cdot \left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1+\frac{3}{2x}\right)}=0$  

Wykazaliśmy, że prosta k jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji f.