Wyznacz zbiór wartości funkcji f:- Zadanie 2.59: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 2 x - 24}, x \in ⟨ - 5, 3 ⟩$

Wyznaczmy funkcję pomocniczą g(x) i współrzędne jej wierzchołka, a następnie zbiór wartości.

$g (x) = x^{2} + 2 x - 24$

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 2}{2} = - 1 \in ⟨ - 5, 3 ⟩$

$g = g (p) = g (- 1) = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) - 24 = 1 - 2 - 24 = - 25$

$Z W_{g} = ⟨ - 25, + \infty)$

$f (- 5) = \frac{1}{( - 5 ) ^{2} + 2 \cdot ( - 5 ) - 24} = \frac{1}{25 - 10 - 24} = \frac{1}{- 9} = - \frac{1}{9}$

$f (- 1) = \frac{1}{( - 1 ) ^{2} + 2 \cdot ( - 1 ) - 24} = \frac{1}{1 - 2 - 24} = \frac{1}{- 25} = - \frac{1}{25}$

$f (3) = \frac{1}{3 ^{2} + 2 \cdot 3 - 24} = \frac{1}{9 + 6 - 24} = \frac{1}{- 9} = - \frac{1}{9}$

$Z W_{f} = ⟨ - \frac{1}{9}, - \frac{1}{25} ⟩$

$f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 4 x + 3}, x \in ⟨ 4, 6 ⟩$

Wyznaczmy funkcję pomocniczą g(x) i wyznaczmy jej wierzchołek, a następnie zbiór wartości.

$g (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$p = \frac{- b}{2 a} = \frac{4}{2} = 2 \in / ⟨ 4, 6 ⟩$

$f (4) = \frac{1}{4 ^{2} - 4 \cdot 4 + 3} = \frac{1}{16 - 16 + 3} = \frac{1}{3}$

$f (6) = \frac{1}{6 ^{2} - 4 \cdot 6 + 3} = \frac{1}{36 - 24 + 3} = \frac{1}{15}$

$Z W_{f} = ⟨ \frac{1}{15}, \frac{1}{3} ⟩$

$f (x) = \frac{1}{sin x}, x \in ⟨ \frac{π}{4}, \frac{5 π}{6} ⟩$

Zauważmy, że:

$- 1 \leq sin x \leq 1$

Zauważmy, że funkcja $y = sin x$ osiąga największą wartość dla $x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in C,$ która wynosi $1 .$

Zatem funkcja $f (x)$ osiąga najmniejszą wartość dla $x = \frac{π}{2} + 2 k π, k \in C$

Dla $x = \frac{π}{2}$ otrzymujemy:

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{sin \frac{π}{2}} = \frac{1}{1} = 1$

$f (\frac{π}{4}) = \frac{1}{sin \frac{π}{4}} = \frac{1}{\frac{2}{2}} = \frac{2}{2} = \frac{2 2}{2} = 2$

$f (\frac{5}{6} π) = \frac{1}{sin \frac{5}{6} π} = \frac{1}{sin ( π - \frac{π}{6} )} = \frac{1}{sin \frac{π}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$Z W_{f} = ⟨ 1, 2 ⟩$

$f (x) = \frac{1}{cos x}$

Zauważmy, że:

$- 1 \leq cos x \leq 1$

Dla $x = π$ otrzymujemy:

$f (π) = \frac{1}{cos π} = \frac{1}{- 1} = - 1$

$f (\frac{3}{4} π) = \frac{1}{cos \frac{3}{4} π} = \frac{1}{cos ( π - \frac{π}{4} )} = \frac{1}{- cos \frac{π}{4}} = \frac{1}{- \frac{2}{2}} = - \frac{2}{2} = - \frac{2 2}{2} = - 2$

$f (\frac{4}{3} π) = \frac{1}{cos \frac{4}{3} π} = \frac{1}{cos ( π + \frac{π}{3} )} = \frac{1}{- cos \frac{π}{3}} = \frac{1}{- \frac{1}{2}} = - 2$

$Z W_{f} = ⟨ - 2, - 1 ⟩$

Uwaga!!!

Prawdopodobnie w odpowiedziach znajduje się błąd.

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.