Rozwiąż nierówności:- Zadanie 1.173: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Zał:

$x^{2} - 5 x + 8 > 0$

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 < 0$

$x \in R$

$(\frac{2}{5})^{l o g_{\frac{1}{4}} (x^{2} - 5 x + 8)} \leq 2, 5$

$(\frac{2}{5})^{l o g_{\frac{1}{4}} (x^{2} - 5 x + 8)} \leq (\frac{5}{2})$

$(\frac{2}{5})^{l o g_{\frac{1}{4}} (x^{2} - 5 x + 8)} \leq (\frac{2}{5})^{- 1}$

$lo g_{\frac{1}{4}} (x^{2} - 5 x + 8) \geq - 1$

$lo g_{\frac{1}{4}} (x^{2} - 5 x + 8) \geq lo g_{\frac{1}{4}} 4$

$x^{2} - 5 x + 8 \leq 4 ∣ - 4$

$x^{2} - 5 x + 4 \leq 0$

$Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

$x_{1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x \in ⟨ 1, 4 ⟩$

b) Zał:

$x^{2} - 3 x + 1 > 0$

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$x_{1} = \frac{3 - 5}{2}$

$x_{2} = \frac{3 + 5}{2}$

$x \in (- \infty, \frac{3 - 5}{2}) \cup (\frac{3 + 5}{2}, + \infty)$

$(\frac{1}{2})^{l o g_{\frac{1}{9}} (x^{2} - 3 x + 1)} < 1$

$(\frac{1}{2})^{l o g_{\frac{1}{9}} (x^{2} - 3 x + 1)} < (\frac{1}{2})^{0}$

$lo g_{\frac{1}{9}} (x^{2} - 3 x + 1) > 0$

$lo g_{\frac{1}{9}} (x^{2} - 3 x + 1) > lo g_{\frac{1}{9}} 1$

$x^{2} - 3 x + 1 < 1 ∣ - 1$

$x^{2} - 3 x < 0$

$x (x - 3) < 0$

$x \in (0, 3)$

Uwzględniając założenie otrzymujemy:

$x \in (0, \frac{3 - 5}{2}) \cup (\frac{3 + 5}{2}, 3)$

c) Zał:

$\frac{3 x - 1}{3 x + 2} > 0$

$(3 x - 1) (3 x + 2) > 0$

$3 (x - \frac{1}{3}) \cdot 3 (x + \frac{2}{3}) > 0$

$x \in (- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

$0, 3^{l o g_{2} \frac{3 x - 1}{3 x + 2}} > 1$

$0, 3^{l o g_{2} \frac{3 x - 1}{3 x + 2}} > 0, 3^{0}$

$lo g_{2} \frac{3 x - 1}{3 x + 2} < 0$

$lo g_{2} \frac{3 x - 1}{3 x + 2} < lo g_{2} 1$

$\frac{3 x - 1}{3 x + 2} < 1 ∣ \cdot (3 x + 2)^{2}$

$(3 x - 1) (3 x + 2) < (3 x + 2)^{2}$

$9 x^{2} + 6 x - 3 x - 2 < 9 x^{2} + 12 x + 4 ∣ - 9 x^{2} - 12 x + 2$

$- 9 x < 6 ∣ : (- 9)$

$x > - \frac{2}{3}$

Uwzględniając założenia otrzymujemy:

$x \in (\frac{1}{3}, + \infty)$

d) Zał:

$x > 0 \land x \neq = 1$

$0, 2^{6 - \frac{3}{l o g _{4} x}} > 3 0, 008^{2 l o g_{4} x - 1}$

$0, 2^{6 - \frac{3}{l o g _{4} x}} > (0, 008^{2 l o g_{4} x - 1})^{\frac{1}{3}}$

$0, 2^{6 - \frac{3}{l o g _{4} x}} > ((0, 2)^{3})^{2 l o g_{4} x - 1})^{\frac{1}{3}}$

$0, 2^{6 - \frac{3}{l o g _{4} x}} > 0, 2^{2 l o g_{4} x - 1}$

$6 - \frac{3}{lo g _{4} x} < 2 lo g_{4} x - 1$

Podstawiając $lo g_{4} x = t$ otrzymujemy:

$6 - \frac{3}{t} < 2 t - 1 ∣ \cdot t^{2}$

$6 t^{2} - 3 t < 2 t^{3} - t^{2} ∣ - 6 t^{2} + 3 t$

$0 < 2 t^{3} - 7 t^{2} + 3 t$

$0 < t (2 t^{2} - 7 t + 3)$

$Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$

$t_{1} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_{2} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$0 < 2 t (t - \frac{1}{2}) (t - 3)$

Zatem otrzymujemy:

$t \in (0, \frac{1}{2}) \cup (3, + \infty)$

$0 < t < \frac{1}{2} \lor t > 3$

$0 < lo g_{4} x < \frac{1}{2} \lor lo g_{4} x > 3$

$lo g_{4} 1 < lo g_{4} x < lo g_{4} 2 \lor lo g_{4} x > lo g_{4} 64$

$1 < x < 2 \lor x > 64$

$x \in (1, 2) \cup (64, + \infty)$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.