a) Zał:

1)

$\frac{x-1}{x+5}>0$  

$\left(x-1\right)\left(x+5\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

2)

$\frac{x-1}{x+5}\ne 1$  

$x-1\ne x+5$  

$x\in \mathbb{R}$  

Zatem założenia możemy zapisać:

$x\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

 

${\log }_{\frac{x-1}{x+5}}0,3>0$  

$\frac{{\log }_{0,3}0,3}{{\log }_{0,3}\frac{x-1}{x+5}}>0$  

$\frac{1}{{\log }_{0,3}\frac{x-1}{x+5}}>0\mid \cdot {\left({\log }_{0,3}\frac{x-1}{x+5}\right)}^2$  

${\log }_{0,3}\frac{x-1}{x+5}>0$  

${\log }_{0,3}\frac{x-1}{x+5}>{\log }_{0,3}1$  

$\frac{x-1}{x+5}<1\mid \cdot {\left(x+5\right)}^2$  

$\left(x-1\right)\left(x+5\right)<{\left(x+5\right)}^2$  

$x^2+5x-1x-5<x^2+10x+25\mid -x^2-10x+5$  

$-6x<30\mid :\left(-6\right)$  

$x>-5$  

Uwzględniając założenia otrzymujemy:

$x\in \left(1,+\infty \right)$  

---

b) Zał:

$3x+4>0$  

$x>-\frac{4}{3}$  

$3x+4\ne 1$

$3x\ne -3$

$x\ne -1$    

$x^2>0$  

$x\ne 0$  

Z założenia możemy napisać: 

$x\in \left(-\frac{4}{3},-1\right)\cup \left(-1,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$  

 

${\log }_{3x+4}{x}^2<1$  

${\log }_{3x+4}{x}^2<{\log }_{3x+4}3x+4$  

 

Przypadek I.

$0<3x+4<1$  

$-4<3x<-3$  

$-\frac{4}{3}<x<-1$  

$x\in \left(-\frac{4}{3},-1\right)$  

Wtedy otrzymujemy:

$x^2>3x+4\mid -3x-4$  

$x^2-3x-4>0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25$  

$x_1=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$  

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

Uwzględniając zał. dla tego przypadku, otrzymujemy:

$x\in \left(-\frac{4}{3},-1\right)$   

 

Przypadek II.

$3x+4>1$  

$x>-1$  

Wtedy otrzymujemy:

$x^2<3x+4\mid -3x+4$  

$x^2-3x-4<0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25$  

$x_1=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$  

$x\in \left(-1,4\right)$  

Uwzględniając założenia mamy: 

$x\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,4\right)$  

 

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$x\in \left(-\frac{4}{3},-1\right)\cup \left(-1,0\right)\cup \left(0,4\right)$  

---

c) Zał:

1)

$x^2-x>0$  

$x\left(x-1\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

2)

$x^2-x\ne 1$  

$x^2-x-1\ne 0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=1+4=5$  

$x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$  

$x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$  

Zatem:

$x\ne \frac{1-\sqrt{5}}{2}\wedge x\ne \frac{1+\sqrt{5}}{2}$  

3)

$x+3>0$  

$x>-3$  

Zatem założenia możemy zapisać:

$x\in \left(-3,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\infty \right)$  

 

${\log }_{x^2-x}\left(x+3\right)<1$  

${\log }_{x^2-x}\left(x+3\right)<{\log }_{x^2-x}\left(x^2-x\right)$  

 

Przypadek I.

$0<x^2-x<1$  

$0<x\left(x-1\right)\wedge x^2-x-1<0$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(1,+\infty \right)\wedge x\in \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$  

$x\in \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$  

Wtedy otrzymujemy:

$x+3>x^2-x\mid -x-3$  

$0>x^2-2x-3$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$  

$x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$  

$x\in \left(-1,3\right)$  

Uwzględniając zał. otrzymujemy:

$x\in \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$   

 

Przypadek II.

$x^2-x>1$  

$x\in \left(-\infty ,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\infty \right)$  

Wtedy otrzymujemy:

$x+3<x^2-x\mid -x-3$  

$0<x^2-2x-3$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$  

$x_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$  

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

Uwzględniając zał. otrzymujemy:

$x\in \left(-3,-1\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

 

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$x\in \left(-3,-1\right)\cup \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(3,+\infty \right)$

---

d) Zał:

1) 

$\left|x\right|>0$  

$x\ne 0$  

2)

$\left|x\right|\ne 1$  

$x\ne 1,x\ne -1$  

3)

$\frac{2x^2-x}{2}>0$  

$2x^2-x>0$  

$2x\left(x-\frac{1}{2}\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$  

Zatem założenia możemy zapisać:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-1,0\right)\cup \left(\frac{1}{2},1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

 

Przypadek I.

$x\in \left(-1,0\right)$  

${\log }_{|x|}\frac{2x^2-x}{2}>1$  

${\log }_{|x|}\frac{2x^2-x}{2}>{\log }_{|x|}\left|x\right|$  

$\frac{2x^2-x}{2}<-x\mid \cdot 2$  

$2x^2-x<-2x\mid +2x$  

$2x^2+x<0$  

$x\left(2x+1\right)<0$  

$x\in \left(-\frac{1}{2},0\right)$  

 

Przypadek II.

$x\in \left(\frac{1}{2},1\right)$  

${\log }_{|x|}\frac{2x^2-x}{2}>1$  

${\log }_{|x|}\frac{2x^2-x}{2}>{\log }_{|x|}\left|x\right|$  

$\frac{2x^2-x}{2}<x\mid \cdot 2$  

$2x^2-x<2x\mid -2x$  

$2x^2-3x<0$  

$x\left(2x-3\right)<0$  

$x\in \left(0,\frac{3}{2}\right)$  

Uwzględniając zał. otrzymujemy:

$x\in \left(\frac{1}{2},1\right)$  

 

Przypadek III.

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

${\log }_{|x|}\frac{2x^2-x}{2}>1$  

${\log }_{|x|}\frac{2x^2-x}{2}>{\log }_{|x|}\left|x\right|$  

$\frac{2x^2-x}{2}>\left|x\right|$  

$\left|x\right|<\frac{2x^2-x}{2}$  

$x<\frac{2x^2-x}{2}\text{i}x>-\frac{2x^2-x}{2}$  

$2x<2x^2-x\text{i}2x>-2x^2+x$  

$0<2x^2-3x\text{i}0>-2x^2-x$  

$0<x\left(2x-3\right)\text{i}0<2x^2+x$  

$0<x\left(2x-3\right)\text{i}0<x\left(2x+1\right)$  

$x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)\text{i}\left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(0,+\infty \right)$  

Czyli:

$x\in \left(-\infty ,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$  

Uwzględniając zał. otrzymujemy:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$  

 

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},0\right)\cup \left(\frac{1}{2},1\right)\cup \left(\frac{3}{2},+\infty \right)$