a)
Zał:
x>0
log32x+2log3x−8=0
Podstawiając log3x=t otrzymujemy:
t2+2t−8=0
Δ=22−4⋅1⋅(−8)=4+32=36
t1=2−2−6=2−8=−4
t2=2−2+6=24=2
Zatem otrzymujemy:
log3x=2 ∨ log3x=−4
x=32 ∨ x=3−4
x=9 ∨ x=811
b)
Zał:
x>0
log22x−6log2x+5=0
Podstawiając log2x=t otrzymujemy:
t2−6t+5=0
Δ=(−6)2−4⋅1⋅5=36−20=16
t1=26−4=22=1
t2=26+4=210=5
Zatem otrzymujemy:
log2x=1 ∨ log2x=5
x=2 ∨ x=32
c)
Zał:
x>0
(log2x−3)log2x+32(log2x+1)=0
Podstawiając log2x=t otrzymujemy:
(t−3)t+32(t+1)=0
t2−3t+32t+32=0 ∣⋅3
3t2−9t+2t+2=0
3t2−7t+2=0
Δ=(−7)2−4⋅3⋅2=49−24=25
t1=2⋅37−5=62=31
t2=2⋅37+5=612=2
Zatem otrzymujemy:
log2x=31 ∨ log2x=2
x=231 ∨ x=22
x=32 ∨ x=4
d)
Zał:
x>0
log53x+2log52x−log5x−2=0
Podstawiając log5x=t otrzymujemy:
t3+2t2−t−2=0
t2(t+2)−1(t+2)=0
(t2−1)(t+2)=0
(t−1)(t+1)(t+2)=0
t−1=0 ∨ t+1=0 ∨ t+2=0
t=1 ∨ t=−1 ∨ t=−2
log5x=1 ∨ log5x=−1 ∨ log5x=−2
x=5 ∨ x=51 ∨ x=251
e)
Zał:
x>0
log43x+2log4x+3=0
Podstawiając log4x=t otrzymujemy:
t3+2t+3=0
Łatwo zauważyć, że rozwiązaniem tego równania jest t=-1.
(t+1)(t2−t+3)=0
Δ=(−1)2−4⋅1⋅3<0
Jedynym rozwiązaniem jst t=-1, zatem otrzymujemy:
log4x=−1
x=41
f)
Zał:
x−1>0
x>1
log24(x−1)+3log22(x−1)−4=0
Podstawiając log22(x−1)=t,t≥0 otrzymujemy:
t2+3t−4=0
Δ=32−4⋅1⋅(−4)=9+16=25
t1=2−3−5=2−8=−4 sprzecznosˊcˊ
t2=2−3+5=22=1
Zatem otrzymujemy:
log22(x−1)=1
∣log2(x−1)∣=1
log2(x−1)=1 ∨ log2(x−1)=−1
x−1=2 ∨ x−1=21
x=3 ∨ x=121
