Rysunek pomocniczy:

Korzystając z funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:    

$\frac{a}{d}=\cos \alpha$  

$a=d\cos \alpha$  

$\frac{h}{d}=\sin \alpha$  

$h=d\sin \alpha$  

Obliczmy pole trójkąta, który jest przekrojem tego stożka.

$P=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h$  

$P=d\cos \alpha \cdot d\sin \alpha$  

$P=d^2\sin \alpha \cos \alpha$  

 

Obliczmy promień kuli wpisanej w tej stożek, czyli promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 2a, d, d.

Korzystamy ze wzoru: 

  $P=p\cdot r$  

$d^2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2a+2d}{2}\cdot r$  

$d^2\sin \alpha \cos \alpha =\left(a+d\right)\cdot r$  

$d^2\sin \alpha \cos \alpha =\left(d\cos \alpha +d\right)\cdot r$  

$d^2\sin \alpha \cos \alpha =d\left(\cos \alpha +1\right)\cdot r\mid :d$  

$d\sin \alpha \cos \alpha =\left(\cos \alpha +1\right)\cdot r\mid :\left(\cos \alpha +1\right)$  

$\frac{d\sin \alpha \cos \alpha }{\cos \alpha +1}=r$  

Rozszerzając licznik i mianownik przez 2 otrzymujemy:

$\frac{d\cdot 2\sin \alpha \cos \alpha }{2\left(\cos \alpha +1\right)}=r$   

$\frac{d\cdot \sin 2\alpha }{2\left(\cos \alpha +1\right)}=r$  

 

Obliczmy promień kuli opisanej na tym stożku, czyli promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach 2a, d, d.

Korzystamy ze wzoru:

  $P=\frac{abc}{4R}$   

$d^2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2a\cdot d\cdot d}{4R}\mid :d^2$  

$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{a}{2R}$  

$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{d\cos \alpha }{2R}\mid :\cos \alpha$  

$\sin \alpha =\frac{d}{2R}\mid \cdot R$  

$R\sin \alpha =\frac{d}{2}\mid :\sin \alpha$  

$R=\frac{d}{2\sin \alpha }$