Przypomnijmy:

Obrazem punktu A(x,y) w jednokładności o środku S(a,b) i skali k jest punkt A₁(x₁,y₁) dla którego:

$x_1=kx+\left(1-k\right)a,y_1=ky+\left(1-k\right)b$  

---

a) Wyznaczamy długość odcinków AB i CD.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(5-2\right)}^2+{\left(6+3\right)}^2}=\sqrt{3^2+9^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}$  

$\left|CD\right|=\sqrt{{\left(1-0\right)}^2+{\left(2+1\right)}^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$  

Przypadek I.

$k=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{90}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$  

Wyznaczmy współrzędne środka S(a,b) wiedząc, że obrazem punkt A jest punkt C.

$0=\frac{1}{3}\cdot 2+\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot a$  

$0=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}a\mid -\frac{2}{3}$  

$-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}a\mid :\frac{2}{3}$  

$-1=a$  

oraz

$-1=\frac{1}{3}\cdot \left(-3\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot b$  

$-1=-1+\frac{2}{3}b\mid +1$  

$0=\frac{2}{3}b\mid :\frac{2}{3}$  

$0=b$  

Zatem otrzymujemy:

$S=\left(-1,0\right)$  

 

Przypadek II.

$k=-\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{90}}=-\sqrt{\frac{1}{9}}=-\frac{1}{3}$  

Wyznaczmy współrzędne środka S(a,b) wiedząc, że obrazem punkt A jest punkt D.

$1=-\frac{1}{3}\cdot 2+\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot a$  

$1=-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}a\mid +\frac{2}{3}$  

$\frac{5}{3}=\frac{4}{3}a\mid :\frac{4}{3}$  

$\frac{5}{3}\cdot \frac{3}{4}=a$  

$\frac{5}{4}=a$  

$1\frac{1}{4}=a$  

oraz

$2=-\frac{1}{3}\cdot \left(-3\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot b$  

$2=1+\frac{4}{3}b\mid -1$  

$1=\frac{4}{3}b\mid :\frac{4}{3}$  

$\frac{3}{4}=b$  

Zatem otrzymujemy:

$S=\left(1\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)$

---

b)

Wyznaczamy długość odcinków AB i CD.

$\left|AB\right|={\sqrt{4+2}}^2+{\left(2+1\right)}^2)=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$  

$\left|CD\right|=\sqrt{{\left(10-2\right)}^2+{\left(5-1\right)}^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$  

Przypadek I.

$k=\frac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\frac{4}{3}$  

Wyznaczmy współrzędne środka S(a,b) wiedząc, że obrazem punkt A jest punkt C.

$2=\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)+\left(1-\frac{4}{3}\right)\cdot a$  

$2=-\frac{8}{3}-\frac{1}{3}a\mid \cdot 3$  

$6=-8-a\mid +8$  

$14=-a\mid :\left(-1\right)$  

$-14=a$  

oraz

$1=\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)+\left(1-\frac{4}{3}\right)\cdot b$  

$1=-\frac{4}{3}-\frac{1}{3}b\mid \cdot 3$  

$3=-4-b\mid +4$  

$7=-b\mid :\left(-1\right)$  

$-7=b$  

Zatem otrzymujemy:

$S=\left(-14,-7\right)$  

 

Przypadek II.

$k=-\frac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=-\frac{4}{3}$  

Wyznaczmy współrzędne środka S(a,b) wiedząc, że obrazem punkt A jest punkt D.

$10=\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot \left(-2\right)+\left(1+\frac{4}{3}\right)\cdot a$  

$10=\frac{8}{3}+\frac{7}{3}a\mid \cdot 3$  

$30=8+7a\mid -8$  

$22=7a\mid :7$  

$\frac{22}{7}=a$  

$3\frac{1}{7}=a$  

oraz

$5=\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot \left(-1\right)+\left(1+\frac{4}{3}\right)\cdot b$  

$5=\frac{4}{3}+\frac{7}{3}b\mid \cdot 3$  

$15=4+7b\mid -4$  

$11=7b\mid :7$  

$\frac{11}{7}=b$  

$1\frac{4}{7}=b$  

Zatem otrzymujemy:

$S=\left(3\frac{1}{7},1\frac{4}{7}\right)$