Niech a będzie taką liczbą, że ...- Zadanie 33: Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) lo g_{2} 6 = lo g_{2} (3 \cdot 2) = lo g_{2} 3 + lo g_{2} 2 = a + 1$

$b) lo g_{2} (\frac{3}{2}) = lo g_{2} 3 - lo g_{2} 2 = a - 1$

$c) lo g_{3} 18 = lo g_{3} (9 \cdot 2) = lo g_{3} 9 + lo g_{3} 2 = lo g_{3} 3^{2} + \frac{lo g _{2} 2}{lo g _{2} 3} = 2 lo g_{3} 3 + \frac{1}{a} =$

$= 2 + \frac{1}{a} = \frac{2 a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{2 a + 1}{a}$

$d) lo g_{27} (83) = \frac{lo g _{3} 8 3}{lo g _{3} 27} = \frac{lo g _{3} 8 + lo g _{3} 3}{lo g _{3} 3 ^{3}} = \frac{\frac{l o g _{2} 8}{l o g _{2} 3} + lo g _{3} 3 ^{\frac{1}{2}}}{3} =$

$= \frac{\frac{l o g _{2} 2 ^{3}}{a} + \frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{3}{a} + \frac{1}{2}}{3} = \frac{\frac{6}{2 a} + \frac{a}{2 a}}{3} = \frac{\frac{6 + a}{2 a}}{3} = \frac{6 + a}{2 a} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6 + a}{6 a}$

$e) lo g_{2} (63) = \frac{lo g _{2} 6 3}{lo g _{2} 2} = \frac{lo g _{2} 6 + lo g _{2} 3}{lo g _{2} 2 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{lo g _{2} ( 3 \cdot 2 ) + lo g _{2} 3 ^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} =$

$= (lo g_{2} 3 + lo g_{2} 2 + \frac{1}{2} lo g_{2} 3) \cdot 2 = (a + 1 + \frac{1}{2} a) \cdot 2 = (\frac{3}{2} a + 1) \cdot 2 = 3 a + 2$

$f) lo g_{\frac{1}{9}} (\frac{4}{81}) = \frac{lo g _{2} ( \frac{4}{81} )}{lo g _{2} ( \frac{1}{9} )} = \frac{lo g _{2} 4 - lo g _{2} 81}{lo g _{2} 1 - lo g _{2} 9} = \frac{lo g _{2} 2 ^{2} - lo g _{2} 3 ^{4}}{lo g _{2} 2 ^{0} - lo g _{2} 3 ^{2}} =$

$= \frac{2 - 4 lo g _{2} 3}{0 - 2 lo g _{2} 3} = \frac{2 - 4 a}{0 - 2 a} = \frac{2 - 4 a}{- 2 a} = \frac{2 ( 1 - 2 a )}{- 2 a} = \frac{1 - 2 a}{- a} = - \frac{1 - 2 a}{a} = \frac{2 a - 1}{a}$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

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