Sprawdzamy, które z podanych liczb są wymierne.

$\sqrt[3]{{54}^{54}}=\sqrt[3]{{54}^{18\cdot 3}}=\sqrt[3]{{\left({54}^{18}\right)}^3})={54}^{18}\in \mathbb{Q}$  

$\sqrt[1111]{7^{7777}}=\sqrt[1111]{7^{7\cdot 1111}}=\sqrt[1111]{{\left(7^7\right)}^{1111}}=7^7\in \mathbb{Q}$  

$\sqrt[3]{3^{1222222}}=\sqrt[3]{3^{407407\frac{1}{3}\cdot 3}}=\sqrt[3]{{\left(3^{407407\frac{1}{3}}\right)}^3}=3^{407407\frac{1}{3}}\notin \mathbb{Q}$  

$\sqrt[18]{{18}^{9999}}=\sqrt[18]{{18}^{\frac{1111}{2}\cdot 18}}=\sqrt[18]{{\left({18}^{\frac{1111}{2}}\right)}^{18}}={18}^{\frac{1111}{2}}\notin \mathbb{Q}$  

$\sqrt[4]{7^{7744}}=\sqrt[4]{7^{1936\cdot 4}}=\sqrt[4]{{\left(7^{1936}\right)}^4})=7^{1936}\in \mathbb{Q}$  

$\sqrt[3]{{2002}^{2002}}=\sqrt[3]{{2002}^{667\frac{1}{3}\cdot 3}}=\sqrt[3]{{\left({2002}^{667\frac{1}{3}}\right)}^3}={2002}^{667\frac{1}{3}}\notin \mathbb{Q}$