$\text{a)}$  

Wierzchołek tej funkcji ma współrzędne B=(2, 3), zatem postać kanoniczna tej funkcji to:

$f\left(x\right)=a{\left(x-2\right)}^2+3$  

Podstawiając współrzędne punktu A=(0, 1) otrzymujemy:   

$1=a{\left(0-2\right)}^2+3$  

$1=4a+3$  

$-2=4a$  

$-\frac{1}{2}=a$  

Zatem:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x-2\right)}^2+3$  

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2-4x+4\right)+3$  

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x-2+3$  

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+1$  

---

$\text{b)}$  

Wierzchołek tej funkcji ma współrzędne C=(4, 1), zatem postać kanoniczna tej funkcji to:

$f\left(x\right)=a{\left(x-4\right)}^2+1$  

Podstawiając współrzędne punktu D=(2, 0) otrzymujemy:

$0=a{\left(2-4\right)}^2+1$  

$0=4a+1$  

$-4a=1$  

$a=-\frac{1}{4}$  

Zatem:

$f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{\left(x-4\right)}^2+1$  

$f\left(x\right)=-\frac{1}{4}\left(x^2-8x+16\right)+1$  

$f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2+2x-4+1$  

$f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^2+2x-3$  

---

$\text{c)}$  

Miejsca zerowe tej funkcji to 2 oraz 6, zatem postać iloczynowa tej funkcji to:

$f\left(x\right)=a\left(x-2\right)\left(x-6\right)$  

Podstawiając współrzędne punktu A=(0, 1) otrzymujemy:

$1=a\left(0-2\right)\left(0-6\right)$  

$1=12a$  

$\frac{1}{12}=a$  

Zatem:

$f\left(x\right)=\frac{1}{12}\left(x-2\right)\left(x-6\right)$  

$f\left(x\right)=\frac{1}{12}\left(x^2-6x-2x+12\right)$  

$f\left(x\right)=\frac{1}{12}\left(x^2-8x+12\right)$  

$f\left(x\right)=\frac{1}{12}{x}^2-\frac{8}{12}x+1$  

$f\left(x\right)=\frac{1}{12}{x}^2-\frac{2}{3}x+1$