Założenie:

$a,b-$  dwie dowolne liczby niepodzielne przez  $3$  

---

Teza:

$a^2+b^2=3k+2,k\in \mathbb{N}$  

---

Dowód:

Zauważmy, ze jeżeli liczby  $a$  i  $b$  są niepodzielne przez  $3,$  

to każda z nich w dzieleniu przez  $3$  daje resztę  $1$  lub  $2.$  

---

Należy więc rozważyć trzy przypadki:

$\text{1)}$  Obie liczby w dzieleniu przez  $3$  dają resztę  $1.$  

$\text{2)}$  Obie liczby w dzieleniu przez  $3$  dają resztę  $2.$  

$\text{3)}$  Jedna z liczb w dzieleniu przez  $3$  daje resztę  $1,$  a druga - resztę  $2.$  

---

Przypadek  $1):$  

Obie liczby w dzieleniu przez  $3$  dają resztę  $1,$  więc możemy zapisać je następująco:

$a=3m+1$  

$b=3n+1$  

gdzie  $m,n\in \mathbb{N}$  

Wówczas: