Założenia:

$x^2+y^2=2,x+y=2$  

Teza:

$x=y=1$  

Dowód (wprost):

Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy mamy:  

${\left(x+y\right)}^2=x^2+2xy+y^2=\left(x^2+y^2\right)+2xy$  

Możemy więc zapisać, że:

$x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-2xy=2^2-2xy=4-2xy$  

Wiemy, że  $x^2+y^2=2,$  więc:

$2=4-2xy\mid :2$  

$1=2-xy$  

$xy=1\mid :y\ne 0$  (możemy tak przyjąć, bo dla  $y=0$  oba założenia nie są jednocześnie spełnione)

$x=\frac{1}{y}$  

Podstawiamy powyższą zależność do równania  $x+y=2.$  

$x+y=2$  

$\frac{1}{y}+y=2\mid \cdot y$  

$1+y^2=2y$  

$y^2-2y+1=0$  

${\left(y-1\right)}^2=0$  

$y-1=0$  

$y=1$  

A wówczas mamy:

$x=\frac{1}{y}=\frac{1}{1}=1$  

---

Otrzymaliśmy:

$x=y=1,$  

co należało dowieść.