Oblicz, stosując prawa działań na potęgach:- Zadanie 2.2: Matematyka 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Przypomnijmy prawa działań na potęgach.

Jeśli $m$ i $n$ są liczbami naturalnymi, $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi różnymi od zera, to:

$1) a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$

$2) a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ dla $m \geq n$

$3) (a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}$

$4) a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}$

$5) \frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$

$6) a^{0} = 1$

$a) - 4^{2} \cdot (- 4)^{3} = - 4^{2} \cdot (- 1 \cdot 4)^{3} = - 4^{2} \cdot (- 1)^{3} \cdot 4^{3} = - (- 1)^{3} \cdot 4^{2 + 3} =$

$= - (- 1)^{3} \cdot 4^{5} = - (- 1) \cdot 1024 = 1024$

$b) (0, 2)^{3} \cdot (0, 2)^{3} = (0, 2)^{3 + 3} = (0, 2)^{6} = 0, 000064$

$c) (\frac{2}{5})^{5} \cdot (6 \frac{1}{4})^{3} = (\frac{2}{5})^{5} \cdot (\frac{25}{4})^{3} = (\frac{2}{5})^{5} \cdot (\frac{5}{2})^{2})^{3} =$

$= (\frac{2}{5})^{5} \cdot (\frac{5}{2})^{6} = \frac{2 ^{5} \cdot 5 ^{6}}{5 ^{5} \cdot 2 ^{6}} = \frac{2 ^{5}}{2 ^{6}} \cdot \frac{5 ^{6}}{5 ^{5}} = 2^{- 1} \cdot 5^{1} = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$

$d) (- 1 \frac{1}{5})^{7} \cdot (- 1 \frac{2}{3})^{7} = (- \frac{6}{5})^{7} \cdot (- \frac{5}{3})^{7} = [(- \frac{6}{5}) \cdot (- \frac{5}{3})]^{7} =$

$= (\frac{6 ^{2}}{5 ^{1}} \cdot \frac{5 ^{1}}{3 ^{1}})^{7} = 2^{7} = 128$

$e) (1, 8)^{4} \cdot (- \frac{1}{6})^{4} = (\frac{18}{10})^{4} \cdot (\frac{1}{6})^{4} = (\frac{9}{5})^{4} \cdot (\frac{1}{6})^{4} = (\frac{9 ^{3}}{5} \cdot \frac{1}{6 ^{2}})^{4} =$

$= (\frac{3}{10})^{4} = \frac{81}{10000}$

$f) (- 2, 8)^{6} \cdot (\frac{25}{49})^{3} = (2, 8)^{6} \cdot ((\frac{5}{7})^{2})^{3} = (\frac{28}{10})^{6} \cdot (\frac{5}{7})^{6} = (\frac{14}{5})^{6} \cdot (\frac{5}{7})^{6} =$