a) Rysunek pomocniczy:

Po skróceniu podstawy i wydłużeniu wysokości podstawa trójkąta ma długość (10-x), a wysokość jest równa (4+x).

Obliczamy pole trójkąta o takich wymiarach:

$P=\frac{1}{2}\left(10-x\right)\left(4+x\right)$  

Niewiadoma x wyraża długość, więc musi być liczbą dodatnią (x>0). Wyrażenie 10-x to długość boku trójkąta, więc musi być liczbą dodatnią (10-x>0, czyli x<10). Stąd: x ∈ (0, 10).

Zatem szukana funkcja to:

$P\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(10-x\right)\left(4+x\right),\text{gdzie}x\in \left(0,10\right)$  

b) Obliczamy, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 12:

$P\left(x\right)=12$  

$\frac{1}{2}\left(10-x\right)\left(4+x\right)=12\mid \cdot 2$  

$\left(10-x\right)\left(4+x\right)=24$  

$40+10x-4x-x^2=24$  

$-x^2+6x+16=0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x^2-6x-16=0$  

$x^2-6x+\underset{-16}{\underbrace{9-25}}=0$  

$x^2-6x+9=25$  

${\left(x-3\right)}^2=25$  

$x-3=5\text{lub}x-3=-5$  

$x=8\in \left(0,10\right)\text{lub}x=-2\notin \left(0,10\right)$  

Pole nowego trójkąta jest równe 12 dla x=8.

c) Przekształcamy wzór funkcji y=P(x) do postaci kanonicznej:

$P\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(10-x\right)\left(4+x\right)=\frac{1}{2}\left(40+10x-4x-x^2\right)=\frac{1}{2}\left(-x^2+6x+40\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2-6x-40\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2-6x+\underset{-40}{\underbrace{9-49}}\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9\right)-\frac{1}{2}\cdot \left(-49\right)=-0,5{\left(x-3\right)}^2+24,5$  

Współczynnik przy x² jest ujemny więc ramiona paraboli są skierowane do dołu i wówczas funkcja y=P(x) przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli (jeżeli należy on do dziedziny). Z postaci kanonicznej funkcji y=P(x) odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: W(3; 24,5). Mamy 3 ∈ (0, 10), więc istotnie funkcja pola przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli x=3 i ta wartość jest równa 24,5.