Nasza początkowa liczba składa się z $43$ jedynek, czyli ma postać:

$\underset{43\text{jedynki}}{\underbrace{1111111111111111111111111111111111111111111}}$  

---

Zauważmy, że gdyby liczba składała się tylko z $42$ jedynek, to byłaby podzielna przez $111$.

$\underset{42\text{jedynki}}{\underbrace{111111111111111111111111111111111111111111}}$  

(Każdy taki $3$-cyfrowy segment jest podzielny przez $111$, zatem cała liczba również jest podzielna przez $111$.)

Gdy dopiszemy $0$ na końcu liczby zapisanej powyżej, to otrzymamy liczbę $43$-cyfrową, która wygląda tak:

$1111111111111111111111111111111111111111110$  

Ta liczba jest w dalszym ciągu podzielna przez $111$, bo otrzymaliśmy ją mnożąc naszą $42$-cyfrową liczbę (podzielną przez $111$) przez $10$.

Kolejną po niej liczbą podzielną przez $111$ jest liczba o $111$ od niej większa, a więc liczba:

$1111111111111111111111111111111111111111221$  

---

Wróćmy do naszej początkowej liczby złożonej z $43$ jedynek. Widzimy, że jest ona o $110$ mniejsza od liczby zapisanej na czerwono.

Zatem najmniejszą liczbą, jaką możemy dodać do liczby złożonej z $43$ jedynek, aby otrzymać liczbę podzielną przez $111$, jest liczba $110$. 

Wtedy:

$\underset{43\text{jedynki}}{\underbrace{1111111111111111111111111111111111111111111}}+110=$  

$=1111111111111111111111111111111111111111221$  

---

Odp. Ta liczba to $110$.