a)

Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika (niech będzie to najmniejszy wspólny mianownik) i obliczmy ich różnicę.

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\underline{\underline{\frac{1}{6}}}$  

$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\underline{\underline{\frac{1}{12}}}$

$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\underline{\underline{\frac{1}{20}}}$

$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6}{30}-\frac{5}{30}=\underline{\underline{\frac{1}{30}}}$    

Zauważmy, że jeżeli odejmujmy od siebie dwa ułamki, których liczniki są równe $1$, a mianowniki są dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi, to w wyniku otrzymamy ułamek, który w liczniku ma $1$, a w mianowniku - najmniejszą wspólną wielokrotność liczb z obu mianowników (czyli w takim przypadku iloczyn tych liczb).

---

---

b)

Obliczymy różnicę

$\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$  

korzystając ze spostrzeżeń z podpunktu (a).

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb $99$ i $100$ jest

$99\cdot 100=9900$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\underline{\underline{\frac{1}{9900}}}$  

---

Obliczymy różnicę

$\frac{1}{199}-\frac{1}{200}$  

korzystając ze spostrzeżeń z podpunktu (a).

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb $199$ i $200$ jest

$199\cdot 200=39800$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{1}{199\cdot 200}=\underline{\underline{\frac{1}{39800}}}$

---

Obliczymy różnicę

$\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}$  

korzystając ze spostrzeżeń z podpunktu (a). Otrzymujemy:

$\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}=\frac{1}{1999\cdot 2000}=\underline{\underline{\frac{1}{3998000}}}$  

---

---

c)

Aby sprytnie wykonać rachunki, skorzystamy ze spostrzeżeń z podpunktów (a) i (b).

Wiemy, jak wygląda różnica dwóch ułamków o licznikach równych $1$ i mianownikach będącymi kolejnymi liczbami naturalnymi, zatem możemy wykonać operację odwrotną. Przykład:

$\text{Skoro }\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2\cdot 3}\text{, to jednoczesˊnie }\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$  

Wykorzystajmy tę wiadomość, i rozpiszmy nasze działanie:

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots +\frac{1}{998\cdot 999}+\frac{1}{999\cdot 1000}=$  

$=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\dots +\left(\frac{1}{998}-\frac{1}{999}\right)+\left(\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}\right)=$  

$=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\dots +\frac{1}{998}-\frac{1}{999}+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000}$  

Widzimy, że możemy odpowiednio "sparować" nasze liczby:

$\frac{1}{1}+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\right)+\dots +\left(-\frac{1}{998}+\frac{1}{998}\right)+\left(-\frac{1}{999}+\frac{1}{999}\right)-\frac{1}{1000}$  

Wyniki we wszystkich nawiasach dadzą nam $0$, zatem zostanie nam:

$\frac{1}{1}-\frac{1}{1000}=\frac{1000}{1000}-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}$  

Czyli otrzymaliśmy, że

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots +\frac{1}{998\cdot 999}+\frac{1}{999\cdot 1000}=\underline{\underline{\frac{999}{1000}}}$