Oznaczamy daną liczbę jako x i otrzymujemy równanie:

$x=\sqrt[3]{38+\sqrt{1445}}+\sqrt[3]{38-\sqrt{1445}}$  

Podnosimy obie strony równanie do sześcianu (po prawej stronie stosujemy wzór skróconego mnożenia).  

$x^3={\left(\sqrt[3]{38+\sqrt{1445}}\right)}^3+3\cdot ({\sqrt[3]{38+\sqrt{1445}}}^2\cdot \sqrt[3]{38-\sqrt{1445}}+3\cdot (\sqrt[3]{38+\sqrt{1445}}\cdot {\left(\sqrt[3]{38-\sqrt{1445}}\right)}^2+({\sqrt[3]{38-\sqrt{1445}}}^3$  

$x^3=38+\cancel{\sqrt{1445}}+3\cdot \sqrt[3]{{\left(38+\sqrt{1445}\right)}^2\left(38-\sqrt{1445}\right)}+3\cdot \sqrt[3]{\left(38+\sqrt{1445}\right){\left(38-\sqrt{1445}\right)}^2}+38-\cancel{\sqrt{1445}}$  

$x^3=38+3\cdot \sqrt[3]{\left(38+\sqrt{1445}\right)\left({38}^2-1445\right)}+3\cdot \sqrt[3]{\left({38}^2-1445\right)\left(38-\sqrt{1445}\right)}+38$  

$x^3=76+3\cdot \sqrt[3]{\left(38+\sqrt{1445}\right)\left(1444-1445\right)}+3\sqrt[3]{\left(1445-1445\right)\left(38-\sqrt{1445}\right)}$  

$x^3=76+3\cdot \sqrt[3]{-\sqrt{1445}-38}+3\cdot \sqrt[3]{\sqrt{1445}-38}$  

$x^3=76+3\left(\sqrt[3]{-\sqrt{1445}-38}+\sqrt[3]{\sqrt{1445}-38}\right)$  

$x^3=76+3\cdot \left(-1\right)\left(\sqrt[3]{\sqrt{1445}+38}+\sqrt[3]{\sqrt{1445}-38}\right)$  

Łatwo zauważyć, że działanie w powyższym nawiasie jest równe x (patrz druga linijka naszego rozwiązania).

$x^3=76-3x\mid +3x-76$  

$x^3+3x-76=0$  

$x\left(x^2-16\right)+19x-76=0$  

$x\left(x-4\right)\left(x+4\right)+19\left(x-4\right)=0$  

$\left(x-4\right)\left(x^2+4x+19\right)=0$  

$x-4=0\text{lub}{x}^2+4x+19=0$  

$x=4\text{lub}\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 19<0\text{brak rozwiązanˊ}$  

Jedynym rozwiązaniem otrzymanego równanie jest liczba 4.

Zatem liczba mająca postać  $\sqrt[3]{38+\sqrt{1445}}+\sqrt[3]{38-\sqrt{1445}}$     jest równa 4, co kończy dowód.