Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\{\begin{array}{l}{P}_p=15\\ P_c=206\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ 2ab+2ah+2bh=206\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ 30+2ah+2bh=206\mid -30\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ 2ah+2bh=176\mid :2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ ah+bh=88\mid :h\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ a+b=\frac{88}{h}{\mid }^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ {\left(a+b\right)}^2=\frac{{88}^2}{h^2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ a^2+2ab+b^2=\frac{7744}{h^2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ a^2+b^2=\frac{7744}{h^2}-30\end{array}$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy:

$h^2+{\sqrt{a^2+b^2}}^2={\sqrt{155}}^2$  

$h^2+a^2+b^2=155$  

$h^2+\frac{7744}{h^2}-30=155\mid +30$  

$h^2+\frac{7744}{h^2}=185\mid \cdot h^2$  

$h^4+7744=185h^2\mid -185h^2$  

$h^4-185h^2+7744=0$  

Podstawiając  $t=h^2$   otrzymujemy:

$t^2-185t+7744=0$  

$\Delta ={\left(-185\right)}^2-4\cdot 1\cdot 7744=34225-30976=3249$  

$\sqrt{\Delta }=57$  

$t_1=\frac{185-57}{2}=\frac{128}{2}=64$  

$t_2=\frac{185+57}{2}=\frac{242}{2}=121$  

$h^2=64\vee h^2=121$  

$h=8\vee h=11$  

 

Przypadek I.

$h=8$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ {\left(a+b\right)}^2=\frac{{88}^2}{8^2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ a+b=11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ a=11-b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left(11-b\right)b=15\\ a=11-b\end{array}$  

Rozwiązując pierwsze równanie mamy:

$-b^2+11b-15=0$  

$\Delta ={11}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-15\right)=121-60=61$  

$b_1=\frac{-11-\sqrt{61}}{-2}=\frac{11+\sqrt{61}}{2}$  

$b_2=\frac{-11+\sqrt{61}}{-2}=\frac{11-\sqrt{61}}{2}$  

Zatem:

$a_1=11-\frac{11+\sqrt{61}}{2}=\frac{22-11-\sqrt{61}}{2}=\frac{11-\sqrt{61}}{2}$  

$a_2=11-\frac{11-\sqrt{61}}{2}=\frac{22-11+\sqrt{61}}{2}=\frac{11+\sqrt{61}}{2}$  

 

Odp. Wymiary tego prostopadłościanu to:  $\frac{11-\sqrt{61}}{2}\left[\text{cm}\right],\frac{11+\sqrt{61}}{2}\left[\text{cm}\right],8\left[\text{cm}\right].$  

 

Przypadek II.

$h=11$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ {\left(a+b\right)}^2=\frac{{88}^2}{{11}^2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ a+b=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}ab=15\\ a=8-b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left(8-b\right)b=15\\ a=8-b\end{array}$  

Rozwiązując pierwsze równanie mamy:

$8b-b^2=15$  

$-b^2+8b-15=0$  

$\Delta =8^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-15\right)=64-60=4$  

$b_1=\frac{-8-2}{-2}=\frac{-10}{-2}=5$  

$b_2=\frac{-8+2}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$  

Zatem:

$a_1=8-5=3$  

$a_2=8-3=5$  

 

Odp. Wymiary tego prostopadłościanu to:  $3\left[\text{cm}\right],5\left[\text{cm}\right],11\left[\text{cm}\right].$