III liceum

III technikum

IV technikum

Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2017. Arkusz poprawkowy

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020.

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy 2022

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2018. Drugi termin

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2019

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2020. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom rozszerzony 2021. Arkusz próbny

Egzamin maturalny Matematyka Poziom rozszerzony 2022

MATeMAtyka 3. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka. Próbne arkusze maturalne. Zestaw 1. Poziom podstawowy

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 3. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 3. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom podstawowy. Po gimnazjum

Teraz matura. Matematyka. Arkusze maturalne poziom rozszerzony. Po gimnazjum

a) Każda trójką punktów wyznacza jedną płaszczyznę. 
Wypiszmy możliwe do otrzymania trójki:    
(A,B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D).
Zatem te punkty wyznaczają 4 różne płaszczyzny.
<hr>
b) Rysunek pomocniczy:
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98851/HDrfZCNJU5YlsD5JlD7hSA%3D%3D_3baff65d36012353e3ee753f6db3e9484daf9d27e7ddff9be3b16608191cc29b.jpg" alt="" width="267" height="266">
Przecięcie płaszczyzny (A,B,C) i płaszczyzny (A,B,D) to krawędź AB.
Przecięcie płaszczyzny (A,B,C) i płaszczyzny (B,C,D) to krawędź BC.
Przecięcie płaszczyzny (A,B,C) i płaszczyzny (A,C,D) to krawędź AC.
Przecięcie płaszczyzny (A,C,D) i płaszczyzny (A,B,D) to krawędź AD.
Przecięcie płaszczyzny (A,B,D) i płaszczyzny (B,C,D) to krawędź BD.
Przecięcie płaszczyzny (A,C,D) i płaszczyzny (B,C,D) to krawędź CD.

Rysunek pomocniczy:
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98853/W5fZHjl7RZL8jpf5Eypq2g%3D%3D_7ad581b808695e39b3ab873396809d826e42e675e8e32304ff01a46b9ab5ad8f.jpg" alt="" width="576" height="361">

Rysunek pomocniczy:
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98858/9f%2BQZ9w5FEBxJTbNPUF/lQ%3D%3D_cb1c5730e06701b3cebee7ac95c3edfe2b92f0fd7e9180a069232ddecd73f912.jpg" alt="" width="455" height="531">

Rysunek pomocniczy:
<img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98860/6ewXFXbh49VT%2BnWwHMQl8Q%3D%3D_cf775c4cefb84af4b4032067ffb591b87543271b30769631ad5cecfcc365e011.jpg" alt="" width="465" height="597">

Rysunek pomocniczy:&nbsp; &nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98861/ci8/7MxJ2BFsHgWJtFpwXw%3D%3D_f0d5eff04bbab56e27d382ad6240da7e360d0f01128e593540633213e956967f.jpg" alt="" width="574" height="405"> Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy: 122+∣PM∣2=132 &nbsp; 144+∣PM∣2=169   ∣−144 &nbsp; ∣PM∣2=25 &nbsp; ∣PM∣=5 &nbsp; &nbsp;

Przypadek I. Rysunek:&nbsp;

Rysunek pomocniczy: <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98878/PLzmAgIgIYz1EfvLQIi9vg%3D%3D_e1f31e3d4b0e3f2247367eecb03353756da17468c263acf97d02e126afc34f76.jpg" alt="" width="561" height="401">&nbsp; &nbsp;&nbsp;

Rysunek pomocniczy:&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98879/Y8jAEXnRXN8TUkZeBlBYoQ%3D%3D_d79e30c1c27bb04ee79032ad032334fc94e1bb4a5d436aa9d349d9c38aff4422.jpg" alt="" width="562" height="362"> Z funkcji trygonometrycznych mamy: 30∣Q′∣​=sin45∘ &nbsp; 30∣Q′∣​=22<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​ &nbsp; ∣Q′∣=152<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ &nbsp; oraz 30∣PQ′∣​=cos45∘ &nbsp; 30∣PQ′∣​=22<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​​ &nbsp; ∣PQ′∣=152<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​ &nbsp;

Rozwiązanie zostało przedstawione na poniższym rysunku (łamana jest zaznaczona kolorem fioletowym):

Rysunek pomocniczy:&nbsp; &nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98861/ci8/7MxJ2BFsHgWJtFpwXw%3D%3D_f0d5eff04bbab56e27d382ad6240da7e360d0f01128e593540633213e956967f.jpg" alt="" width="574" height="405"> Korzystając z tw. Pitagorasa otrzymujemy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c98c0b86b02068f285250dfd8724481c0636188d8fcbded703c0a06403360fd0_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/c98c0b86b02068f285250dfd8724481c0636188d8fcbded703c0a06403360fd0_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2f2a3d9b30bd6969e4434a4754aac081bcea9a6ec305e9a2f7ae22d3d70e8342_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/2f2a3d9b30bd6969e4434a4754aac081bcea9a6ec305e9a2f7ae22d3d70e8342_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ab3c1876e47f4d422799d4ec97f8807fddf3e22968cef594f8e3a7e7ebf8cb72_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/ab3c1876e47f4d422799d4ec97f8807fddf3e22968cef594f8e3a7e7ebf8cb72_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/605ceeac9b91f72a7acdaee5414a752dd5bdcb7dd3fe884045deb5c4c466c5af_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/605ceeac9b91f72a7acdaee5414a752dd5bdcb7dd3fe884045deb5c4c466c5af_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; &nbsp;

Rysunek pomocniczy:&nbsp; <img src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/98879/Y8jAEXnRXN8TUkZeBlBYoQ%3D%3D_d79e30c1c27bb04ee79032ad032334fc94e1bb4a5d436aa9d349d9c38aff4422.jpg" alt="" width="562" height="362"> Z funkcji trygonometrycznych mamy: <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f8b6dcf63a50852ccd089f0eb43806b01f0607bb491ad9cd53c329c2f93633fb_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f8b6dcf63a50852ccd089f0eb43806b01f0607bb491ad9cd53c329c2f93633fb_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d961fcfcd826aef213329f45303638d7ca15c26a6f362c82b1431d352d5dd10b_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/d961fcfcd826aef213329f45303638d7ca15c26a6f362c82b1431d352d5dd10b_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f748dcb3f25ca00743d7987410a94959a0f0f8957072d49ceeefad651f4f650f_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/f748dcb3f25ca00743d7987410a94959a0f0f8957072d49ceeefad651f4f650f_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; oraz <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/949cb20e1ed2657c9e3e21ce39de9f73e8a52524a28337be2ef7b4a8133dbc8d_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/949cb20e1ed2657c9e3e21ce39de9f73e8a52524a28337be2ef7b4a8133dbc8d_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b420cc1dcd3050159a84efcfccf9d774ded03fb2252a385ca86c8f9d99934e06_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/b420cc1dcd3050159a84efcfccf9d774ded03fb2252a385ca86c8f9d99934e06_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp; <object class="math small" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6033b1bfe7df1d6c6c3bbe967df60fa081c2bf28201eaf2a639a713e888ff4a4_small.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="math big" data="https://odrabiamy.pl/api/v3/math_formulas/6033b1bfe7df1d6c6c3bbe967df60fa081c2bf28201eaf2a639a713e888ff4a4_big.svg" type="image/svg+xml"></object> &nbsp;

Komentarze