Wyznaczmy długość boków tego trójkąta.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(4-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(-2-2\right)}^2}=\sqrt{7^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(1-4\right)}^2+{\left(4-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$  

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(4-2\right)}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$  

Zauważmy, że trójkąt jest prostokątny, ponieważ jest spełnione tw. Pitagorasa.

${\left|BC\right|}^2+{\left|AC\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

${\sqrt{45}}^2+{\sqrt{20}}^2={\sqrt{65}}^2$  

$45+20=65$  

$65=65$  

---

a) Obliczmy pole tego trójkąta.

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \left|BC\right|\cdot \left|AC\right|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{45}\cdot \sqrt{20}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=3\cdot 5=15$  

 

Obliczmy obwód tego trójkąta.

$L_{ABC}=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|AC\right|=\sqrt{65}+\sqrt{45}+\sqrt{20}=\sqrt{65}+3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=\sqrt{65}+5\sqrt{5}=\sqrt{5}\left(\sqrt{13}+5\right)$  

---

b) Zauważmy, że kąt prosty znajduje się przy wierzchołku C.

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez punkt C.

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej AB.

$a_{AB}=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}=\frac{-2-2}{4-\left(-3\right)}=\frac{-4}{7}=-\frac{4}{7}$  

Wyznaczmy współczynnik a szukanej prostej.

$a_{AB}\cdot a=-1$  

$-\frac{4}{7}\cdot a=-1\mid :\left(-\frac{4}{7}\right)$  

$a=\frac{7}{4}$    

Szukana prosta jest postaci:

$y=\frac{7}{4}x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu C otrzymujemy:

$4=\frac{7}{4}\cdot 1+b$  

$4-\frac{7}{4}=b$  

$4-1\frac{3}{4}=b$  

$2\frac{1}{4}=b$  

Zatem otrzymujemy:

$y=1\frac{3}{4}x+2\frac{1}{4}$  

 

Uwaga!!! W odpowiedzi podano błędną odpowiedź. 

Możemy zauważyć, że punkt C=(1, 4) nie należy do podanej prostej.

$y=\frac{7}{4}x-\frac{9}{4}$  

$4=\frac{7}{4}\cdot 1-\frac{9}{4}$  

$4\ne -\frac{2}{4}$  

---

c) Wyznaczmy środek odcinka AB.

$D=S_{AB}=\left(\frac{-3+4}{2},\frac{2-2}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},0\right)$  

Wyznaczmy prostą przechodzącą przez punkty C i D.

$y=ax+b$  

$\{\begin{array}{l}4=a+b\\ 0=\frac{1}{2}a+b\end{array}$  

Odejmując stronami mamy:

$4=\frac{1}{2}a\mid \cdot 2$  

$8=a$  

$\{\begin{array}{l}a=8\\ 0=\frac{1}{2}\cdot 8+b\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=8\\ -4=b\end{array}$  

$y=8x-4$  

---

d) Obliczmy promień koła wpisanego w tej trójkąt. Korzystamy ze wzoru:

$r=\frac{a+b-c}{2}$  

$r=\frac{\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{65}}{2}$  

$r=\frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-\sqrt{65}}{2}$  

$r=\frac{5\sqrt{5}-\sqrt{65}}{2}$  

$r=\frac{\sqrt{5}\left(5-\sqrt{13}\right)}{2}$  

$r^2=\frac{5{\left(5-\sqrt{13}\right)}^2}{4}$  

$r^2=\frac{5\left(25-10\sqrt{13}+13\right)}{4}$  

$r^2=\frac{5\left(38-10\sqrt{13}\right)}{4}$  

$r^2=\frac{190-50\sqrt{13}}{4}$  

$r^2=\frac{95-25\sqrt{13}}{2}$  

Zatem:

$P=\pi r^2=\frac{95-25\sqrt{13}}{2}\pi$  

 

 

Obliczmy promień koła opisanego na tym trójkącie.

$R=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|=\frac{\sqrt{65}}{2}$  

Zatem:

$P=\pi R^2=\pi \cdot {\left(\frac{\sqrt{65}}{2}\right)}^2=\frac{65}{4}\pi$