a) Aby nierówność:

$-x^2+qx-q-3\ge 0$  

maiła tylko dodatnie rozwiązania muszą być spełnione warunki:

$1\text{)}\Delta \ge 0\text{lub}2\text{)}{x}_1+x_2>0\text{lub}3\text{)}{x}_1\cdot x_2>0$  

zatem:  

$1\text{)}{q}^2+4q\cdot \left(-q-3\right)\ge 0$  

$q^2-4q-12\ge 0$  

${\Delta }_q=16+48=64$  

${\sqrt{\Delta }}_q=8$  

$q_1=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$q_2=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6$  

$q\in (-\infty ,-2⟩\cup ⟨6,+\infty )$  

 

$2\text{)}{x}_1+x_2>0$  

$-\frac{q}{-1}>0$  

$q>0$  

 

$3\text{)}{x}_1\cdot x_2>0$  

$\frac{-q-3}{-1}>0$  

$q+3>0$  

$q\succ 3$  

zatem z 1), 2) i 3):

$q\in ⟨6,+\infty )$  

---

b) Aby funkcja:

$y=2x^2+kx-k+3$  

przyjmowała wartości ujemne tylko dla argumentów ujemnych muszą być spełnione warunki:

$1\text{)}\Delta >02\text{)}{x}_1+x_2<03\text{)}{x}_1\cdot x_2<0$  

zatem:

$1\text{)}\Delta =k^2-4\cdot 2\cdot \left(-k+3\right)=k^2-8\cdot \left(3-k\right)=k^2-24+8k$  

${\Delta }_k=8^2-4\cdot 1\cdot \left(-24\right)=64+96=160$  

${\sqrt{\Delta }}_k=4\sqrt{10}$  

$k_1=\frac{-8-4\sqrt{10}}{2}=-4-2\sqrt{10}$  

$k_2=\frac{-8+4\sqrt{10}}{2}=-4+2\sqrt{10}$  

$k\in \left(-\infty ,-4-2\sqrt{10}\right)\cup \left(-4+2\sqrt{10},+\infty \right)$  

 

$2\text{)}-\frac{k}{2}<0$  

$-k<0$  

$k>0$  

 

$3\text{)}\frac{-k+3}{2}>0$  

$-k+3>0$  

$-k>-3$  

$k<3$  

 

zatem z 1), 2) i 3):

$k\in \left(-4+2\sqrt{10},3\right)$