Metody rozwiązywania nierówności są bardzo podobne do metod rozwiązywania równań, jedyna różnica to zapis wyniku, czasem potrzebny jest również zapis w postaci przedziału liczbowego.

Mając nierówność musimy doprowadzić ją do postaci podobnej do tej:

niewiadome (tutaj znaki "<", ">", "=", "≥", "≤") liczby

np.: $x < 5 $

Pamiętamy o standardowych warunkach:

- Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą

- Usuwamy niepotrzebne nawiasy oraz niewymierności i rozwiązanie zostawiamy w postaci nieskracalnej

Zasady rysowania osi liczbowej:

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza" (mniejsza lub równa) to linię kierujemy w lewo, jeżeli większa(większa lub równa) to w prawo

- Jeżeli niewiadoma jest "mniejsza lub równa"/"większa lub równa" to wtedy punkt zaznaczamy i kolorujemy kropkę (czyt. przedział domknięty).

- Jeżeli niewiadoma jest tylko "mniejsza"/"większa" to wtedy zaznaczamy punkt i pozostawiamy pustą kropkę (czyt. przedział otwarty).

Zasady zapisywania przedziałów liczbowych:

- zapisanie niewiadomej (x),

- znaku, który odczytujemy jako "należy do przedziału",

- przedziału dwóch liczb (lub liczby i nieskończoności lub -nieskończoności).

Liczby (i nieskończoność) zapisujemy w nawiasie. Po stronie nieskończoności nawias jest zawsze okrągły, a po stronie liczby:

- okrągły ( ), gdy na osi liczbowej kropka jest pusta (czyt. przedział otwarty), co oznacza, że dana liczba nie należy do przedziału;

- trójkątny < > jeżeli na osi kropka jest zakolorowana (czyt. przedział domknięty), co oznacza, że dana liczba należy do przedziału.

Całość najlepiej pokazać na przykładzie:

Rozwiąż nierówność: $2(x-3)+3(x+5)≥4x$

Najpierw musimy wymnożyć nawiasy

$2x-6+3x+15≥4x$

Teraz niewiadome przenosimy na lewą stronę ze zmianą znaku, a liczby na prawą również zmieniając znak

$2x+3x-4x≥6-15$

Sumujemy nasze x

$x≥-9$

Jeśli rozwiązanie jest w postaci przedziału możemy narysować oś i zaznaczyć na niej liczbę po prawej.

os1

$x∈<-9;∞)$

Pokażmy teraz bardziej zaawansowany przykład:

Znajdź zbiór rozwiązań nierówności ${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x $.

Najpierw musimy się pozbyć ułamków, najłatwiej przez pomnożenie przez wspólną wielokrotność. Jak taką znaleźć? Bardzo prosto! Mnożymy mianowniki $5*3=15$

Więc:

${x+1}/5+{1-4x}/3 < 4-2x$ $|×15$

Pamiętamy, że mnożąc całą nierówność mnożymy każdy składnik oddzielony plusem, minusem lub znakiem nierówności:

$15×{x+1}/5+15×{1-4x}/3 < 60-30x $

Skracamy odpowiednio

$3(x+1)+5(1-4x) < 60-30x$

Następnie mnożymy przez nawiasy

$3x+3+5-20x < 60-30x$

Niewiadome na lewą stronę, liczby na prawą

$3x-20x+30x < 60-5-3$

Sumujemy wszystko

$13x < 52$

Dzielimy całe równanie przez liczbę, która stoi przy x

$13x < 52$ $|:13$

$x < 4$

Zapisujemy przedział

$x∈(-∞;4)$

Rysujemy oś:

os2

Oblicz:

43 Zadanie

43
Zadanie