Jeżeli pierwiastek wielomianu  q(x) jest również pierwiastkiem wielomianu w(x) to wielomian w(x) jest podzielny przez wielomian q(x).

$a)w\left(-1\right)=0$  

$1-a+a-a-8=0$  

$-7-a=0$  

$a=-7$  

$b)w\left(-2\right)=0$  

$-{\left(-2\right)}^6+2\cdot {\left(-2\right)}^4+3\cdot {\left(-2\right)}^3+5\cdot {\left(-2\right)}^2+\left(a^2-9a+3\right)\cdot \left(-2\right)+2a=0$  

$-64+2\cdot 16+3\cdot \left(-8\right)+5\cdot 4-2a^2+18a-6+2a=0$  

$-64+32-24+20-2a^2+20a-6=0$  

$-2a^2+20a-42=0\mid :\left(-2\right)$  

$a^2-10a+21=0$  

$a^2-3a-7a+21=0$  

$a\left(a-3\right)-7\left(a-3\right)=0$  

$\left(a-3\right)\left(a-7\right)=0$  

$a_1=3\vee a_2=7$  

$c)w\left(\frac{1}{2}\right)=0$  

$-6\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3-a\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+3a\cdot \frac{1}{2}-8=0$  

$-6\cdot \frac{1}{8}-a\cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{2}a-8=0$  

$-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}a+\frac{6}{4}a-8=0$  

$-\frac{3}{4}+\frac{5}{4}a-\frac{32}{4}=0$  

$\frac{5}{4}a=\frac{35}{4}$  

$a=7$  

$d)w\left(\frac{2}{5}\right)=0$  

$10\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^4+16\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^3-33\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^2+\left(3a^2-2a-1\right)\cdot \frac{2}{5}+a-7=0$  

$10\cdot \frac{16}{625}+16\cdot \frac{8}{125}-33\cdot \frac{4}{25}+\frac{2}{5}\left(3a^2-2a-1\right)+a-7=0$  

$2\cdot \frac{16}{125}+\frac{128}{125}-\frac{132}{25}+\frac{2}{5}\left(3a^2-2a-1\right)+a-7=0\mid \cdot 125$  

$32+128-660+50\left(3a^2-2a-1\right)+125a-875=0$  

$-500+150a^2-100a-50+125a-875=0\mid :25$  

$-20+6a^2-4a-2+5a-35=0$  

$6a^2+a-57=0$  

$6a^2-18a+19a-57=0$  

$6a\left(a-3\right)+19\left(a-3\right)=0$  

$\left(a-3\right)\left(6a+19\right)=0$  

$a_1=3\vee a_2=-\frac{19}{6}$