Wykonajmy rysunek pomocniczy:



Wyznaczmy długość promienia większego okręgu:

$\left|AD\right|=2R$  

$24=2R$  

$R=12$  

Wyznaczmy długość odcinka oznaczonego na rysunku literą y:

$y=\left|AB\right|-R$  

$y=28-12$  

$y=16$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

$R^2+y^2={\left(R+r+x\right)}^2$  

${12}^2+{16}^2={\left(12+r+x\right)}^2$  

$144+256={\left(12+r+x\right)}^2$  

$400={\left(12+r+x\right)}^2\mid \sqrt{}$  

$20=12+r+x\mid -12$  

$r+x=8$  

$x=8-r\left(\cdot \right)$  

Korzystając z twierdzenia Talesa wiemy, że:

$\frac{x}{r}=\frac{R+x+r}{R}$  

$\frac{x}{r}=\frac{12+8}{12}$  

$\frac{x}{r}=\frac{20}{12}$  

$\frac{x}{r}=\frac{5}{3}\mid \cdot r$  

$x=\frac{5}{3}r\mid \cdot \frac{3}{5}$  

$r=\frac{3}{5}x\left(\ast \right)$  


zatem z (*) i (**):

$r=\frac{3}{5}\cdot \left(8-r\right)$  

$r=\frac{24}{5}-\frac{3}{5}r\mid +\frac{3}{5}r$  

$\frac{8}{5}r=\frac{24}{5}\mid \cdot \frac{5}{8}$  

$r=\frac{24}{5}\cdot \frac{5}{8}$  

$r=3$  


Odp.: Promień mniejszego okręgu wynosi 3.