Zaprzeczeniem zdania "dla każdego  $x$  zachodzi  $p\left(x\right)$ " jest zdanie "istnieje  $x,$  dla którego zachodzi  $\neg p\left(x\right)$ ".

Jest to I prawo De Morgana dla kwantyfikatorów.

Symbolicznie zapisujemy je następująco:

$\neg \underset{x}{\bigwedge }p\left(x\right)\iff \underset{x}{\bigvee }\neg p\left(x\right)$  

Zaprzeczeniem zdania "istnieje  $x,$  dla którego zachodzi  $p\left(x\right)$ " jest zdanie "dla każdego  $x$  zachodzi  $\neg p\left(x\right)$ ".

Jest to II prawo De Morgana dla kwantyfikatorów.

Symbolicznie zapisujemy je następująco:

$\neg \underset{x}{\bigvee }p\left(x\right)\iff \underset{x}{\bigwedge }\neg p\left(x\right)$  

Przypomnijmy też:  

I prawo De Morgana zaprzeczenia alternatywy

Symbolicznie zapisujemy je następująco:

$\neg \left(p\vee q\right)\iff \left[\left(\neg p\right)\wedge \left(\neg q\right)\right]$  

II prawo De Morgana zaprzeczenia koniunkcji

Symbolicznie zapisujemy je następująco:

$\neg \left(p\wedge q\right)\iff \left[\left(\neg p\right)\vee \left(\neg q\right)\right]$  

Powyższe dwa prawa wykorzystamy w podpunktach  $\text{c)}-\text{h)}.$  

$\text{a)}$  zdanie fałszywe

Zaprzeczenie:

$\underset{x\in \mathbf{R}}{\bigvee }{\left(x+1\right)}^2\le 0$   

$\text{b)}$  zdanie prawdziwe