a) Wzór funkcji f jest określony w postaci ilorazu dwóch funkcji, gdzie w liczniku mamy funkcję stałą o dodatniej wartości. W takim razie wartość funkcji f będzie najmniejsza, gdy wyrażenie w mianowniku będzie miało największą wartość, natomiast wartość funkcji f będzie największa, gdy wyrażenie w mianowniku będzie miało najmniejszą wartość. 

Zacznijmy więc od ustalenia najmniejszej i największej wartości wyrażenia z mianownika. Oznaczmy:

$g\left(x\right)=x-7$   

Dziedziną funkcji f jest przedział <1, 5>, więc argumenty funkcji spełniają nierówność:

$1\le x\le 5$  

Oszacujmy wartość wyrażenia x-7, korzystając z własności nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych:

$1\le x\le 5\mid -7$  

$-6\le x-7\le -2$  

$-6\le g\left(x\right)\le -2$  

Zatem:

$Z{W}_g=⟨-6,-2⟩$  

Funkcja g przyjmuje najmniejszą wartość równą -6 oraz największą wartość równą -2.

Zatem funkcja f najmniejszą wartość, gdy g(x)=-2, a największą, gdy g(x)=-6. Obliczmy te wartości:

$f_{\min }=\frac{6}{-2}=-3$  

$f_{\max }=\frac{6}{-6}=-1$  

Funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -3 oraz największą wartość równą -1.

---

b) Wzór funkcji f jest określony w postaci ilorazu dwóch funkcji, gdzie w liczniku mamy funkcję stałą o dodatniej wartości. W takim razie wartość funkcji f będzie najmniejsza, gdy wyrażenie w mianowniku będzie miało największą wartość, natomiast wartość funkcji f będzie największa, gdy wyrażenie w mianowniku będzie miało najmniejszą wartość. 

Zacznijmy więc od ustalenia najmniejszej i największej wartości wyrażenia z mianownika. Oznaczmy:

$g\left(x\right)=2x-1$   

Dziedziną funkcji f jest przedział <-4, -2>, więc argumenty funkcji spełniają nierówność:

$-4\le x\le -2$  

Oszacujmy wartość wyrażenia 2x-1, korzystając z własności nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych:

$-4\le x\le -2\mid \cdot 2$  

$-8\le 2x\le -4\mid -1$  

$-9\le 2x-1\le -5$  

$-9\le g\left(x\right)\le -5$  

Zatem:

$Z{W}_g=⟨-9,-5⟩$  

Funkcja g przyjmuje najmniejszą wartość równą -9 oraz największą wartość równą -5.

Zatem funkcja f najmniejszą wartość, gdy g(x)=-5, a największą, gdy g(x)=-9. Obliczmy te wartości:

$f_{\min }=\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}$  

$f_{\max }=\frac{2}{-9}=-\frac{2}{9}$  

Funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -2/5 oraz największą wartość równą -2/9.

---

c) Wzór funkcji f jest określony w postaci ilorazu dwóch funkcji, gdzie w liczniku mamy funkcję stałą o ujemnej wartości. Przenieśmy minus do mianownika, żeby licznik miał zawsze dodatnią wartość. Wówczas wartość funkcji f będzie najmniejsza, gdy wyrażenie w mianowniku będzie miało największą wartość, natomiast wartość funkcji f będzie największa, gdy wyrażenie w mianowniku będzie miało najmniejszą wartość. 

Zacznijmy więc od ustalenia najmniejszej i największej wartości wyrażenia z mianownika. Oznaczmy:

$g\left(x\right)=-\left(0,5x+1\right)=-\frac{1}{2}x-1$   

Dziedziną funkcji f jest przedział <4, 8>, więc argumenty funkcji spełniają nierówność:

$4\le x\le 8$  

Oszacujmy wartość wyrażenia -1/2x-1, korzystając z własności nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych:

$4\le x\le 8\mid \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$  

$-2\ge -\frac{1}{2}x\ge -4\mid -1$  

$-3\ge -\frac{1}{2}x-1\ge -5$  

$-3\ge g\left(x\right)\ge -5$  

Zatem:

$Z{W}_g=⟨-5,-3⟩$  

Funkcja g przyjmuje najmniejszą wartość równą -5 oraz największą wartość równą -3.

Zatem funkcja f najmniejszą wartość, gdy g(x)=-3, a największą, gdy g(x)=-5. Obliczmy te wartości:

$f_{\min }=\frac{3}{-3}=-1$  

$f_{\max }=\frac{3}{-5}=-\frac{3}{5}$  

Funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -1 oraz największą wartość równą -3/5.

---

d) Wzór funkcji f jest określony w postaci ilorazu dwóch funkcji, gdzie w liczniku mamy funkcję stałą o ujemnej wartości. Przenieśmy minus do mianownika, żeby licznik miał zawsze dodatnią wartość. Wówczas wartość funkcji f będzie najmniejsza, gdy wyrażenie w mianowniku będzie miało największą wartość, natomiast wartość funkcji f będzie największa, gdy wyrażenie w mianowniku będzie miało najmniejszą wartość. 

Zacznijmy więc od ustalenia najmniejszej i największej wartości wyrażenia z mianownika. Oznaczmy:

$g\left(x\right)=-\left(0,2x+6\right)=-\frac{1}{5}x-6$   

Dziedziną funkcji f jest przedział <-10, -5>, więc argumenty funkcji spełniają nierówność:

$-10\le x\le -5$  

Oszacujmy wartość wyrażenia -1/5x-6, korzystając z własności nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych:

$-10\le x\le -5\mid \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)$  

$2\ge -\frac{1}{5}x\ge 1\mid -6$  

$-4\ge -\frac{1}{5}x-6\ge -5$  

$-4\ge g\left(x\right)\ge -5$  

Zatem:

$Z{W}_g=⟨-5,-4⟩$  

Funkcja g przyjmuje najmniejszą wartość równą -5 oraz największą wartość równą -4.

Zatem funkcja f najmniejszą wartość, gdy g(x)=-4, a największą, gdy g(x)=-5. Obliczmy te wartości:

$f_{\min }=\frac{8}{-4}=-2$  

$f_{\max }=\frac{8}{-5}=-\frac{8}{5}=-1\frac{3}{5}$  

Funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą -2 oraz największą wartość równą -1 3/5.