I liceum

I technikum

II technikum

Matematyka 1. Poziom podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka

Egzamin maturalny Matematyka. Poziom podstawowy 2021. Arkusz próbny

MATeMAtyka 1. Karty pracy ucznia zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy cz. 2. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Maturalne karty pracy zakres rozszerzony cz. 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Poziom podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 1. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Cześć 2. Reforma 2019

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka i przykłady jej zastosowań 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka poznać, zrozumieć 1.Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Matematyka. Zbór zadań maturalnych. Poziom podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Ćwiczenia podstawowe. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Matematyka z plusem 1. Zakres rozszerzony. Reforma 2019

Matura z Matematyki  2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy cz. 2

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 1

Matura z Matematyki 2018 - ... Andrzej Kiełbasa. Poziom podstawowy i rozszerzony cz. 2

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Reforma 2019

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Po gimnazjum

Prosto do matury 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom podstawowy. Reforma 2019

Teraz matura. Matematyka. Zbiór zadań poziom rozszerzony. Reforma 2019

Obliczamy wartości funkcji f dla argumentów z dziedziny:

Dobrze jest zacząć rysowanie wykresu funkcji od zaznaczenia punktów (3, 4) i (-1, 0).

Funkcja liczbowa f : X → Y jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, to znaczy, że dla dowolnych argumentów x1, x2 z nierówności x1≠x2 wynika nierówność f(x1)≠f(x2).

Funkcja liczbowa f : X → Y jest funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości, to znaczy, że dla dowolnych argumentów x1, x2 z nierówności x1≠x2 wynika nierówność f(x1)≠f(x2). 
Zgodnie z powyższym, aby sprawdzić, czy funkcja jest różnowartościowa, wystarczy sprawdzić, czy f(x1)-f(x2)≠0.
<hr>
a) Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/68a4f982-3792-4c59-94d3-4554794d7d56_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/8949a464-7c33-47ef-a672-0556557a335b_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
Niech x1≠x2, czyli x2-x1≠0, gdzie x1, x2 ∈ Df.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/180c50f3-f12b-46fe-8720-d0f54b2d1abe_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/180c50f3-f12b-46fe-8720-d0f54b2d1abe_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
Zatem funkcja f jest różnowartościowa.
<hr><hr>
b) Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/aa1672ec-983b-47b8-9e06-71b7aabbbfc3_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/63735e94-f6f9-49c0-b2e7-62f821eb0e8f_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/1e4cb255-62fc-4b5e-b555-ee7b4d808f45_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
Niech x1≠x2, czyli x2-x1≠0, gdzie x1, x2 ∈ Df.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/f857d530-ed98-4f90-9708-d250c3efeb6c_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/f857d530-ed98-4f90-9708-d250c3efeb6c_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Zatem funkcja f jest różnowartościowa.
<hr><hr>
c) Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c87084a6-c454-4522-a728-45674f91f922_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/9c51e6c5-16e8-4604-9d56-a10b7c178f81_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/5ff9e227-ce1a-46d6-987f-b9cce0339ab2_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
Niech x1≠x2, czyli x1-x2≠0, gdzie x1, x2 ∈ Df.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/0f0ada8c-c2de-4f40-af17-a2d01d0e7ca7_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/0f0ada8c-c2de-4f40-af17-a2d01d0e7ca7_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Zatem funkcja f jest różnowartościowa.
<hr><hr>
d) Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/4bd70a69-9ac6-4976-8b70-b48ed0bfee15_small.svg" type="image/svg+xml"></object>  
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/c6f505bb-0d51-49b3-9ec3-eb47d56eab56_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/85de70e1-0d0d-491f-87e0-ea2f9bce29ee_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<object class="onesize" data="https://odrabiamy.pl/images/126127de-6368-4d4a-b828-3b4f175f99bd_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
<hr>
Niech x1≠x2, czyli x1-x2≠0, gdzie x1, x2 ∈ Df.
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/052a1205-b543-4c67-8047-259131867429_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/052a1205-b543-4c67-8047-259131867429_small.svg" type="image/svg+xml"></object> 
Zatem funkcja f jest różnowartościowa.

Funkcja f jest różnowartościowa w zbiorze R, więc spełniona jest implikacja:
<object class="big" data="https://odrabiamy.pl/images/1bde60a6-8a9b-4dd0-ada0-fc36dc247d91_big.svg" type="image/svg+xml"></object><object class="small" data="https://odrabiamy.pl/images/1bde60a6-8a9b-4dd0-ada0-fc36dc247d91_small.svg" type="image/svg+xml"></object>

Wystarczy pokazać, że istnieją

Funkcję liczbową f nazywamy funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji f liczba -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz spełniona jest równość f(x)=f(-x).
Funkcję liczbową f nazywamy funkcją nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji f liczba -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz spełniona jest równość f(-x)=-f(x).

Komentarze